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分析靜力學的重要原理,又稱虛位移原理引,是J.-L.拉格朗日於1764年建立的。其內容為:一個原為靜止的質點系,如果約束是理想雙面定常約束,則系統繼續保持靜止的條件是所有作用於該系統的主動力對作用點的虛位移所作的功的和為零。

1虛位移

虛位移指的是彈性體(或結構系)的附加的滿足約束條件及連續條件的無限小可能位移。所謂虛位移的"虛"字表示它可以與真實的受力結構的變形而產生的真實位移無關,而可能由於其它原因(如溫度變化,或其它外力系,或是其它干擾)造成的滿足位移約束、連續條件的幾何可能位移。對於虛位移要求是微小位移,即要求在產生虛位移過程中不改變原受力平衡體的力的作用方向與大小,亦即受力平衡體平衡狀態不因產生虛位移而改變。真實力在虛位移上做的功稱為虛功。
如果用虛位移表達的幾何可能位移、和真實應力作為靜力可能應力代入功能關係表達式,注意到真實應力和位移是滿足功能關係的,因此可以得到用虛位移dui和虛應變deij表達的虛功方程
上式中應力分量為實際應力。注意到在位移邊界Su上,虛位移是恆等於零的,所以在上述面積分中僅需要在面力邊界Ss上完成。

2原理

虛功原理闡明,對於一個靜態平衡的系統,所有外力的作用,經過虛位移,所作的虛功,總和等於零。考慮一個由一群粒子組成,呈靜態平衡的系統。作用於任何一個粒子Pi 的凈力 等於零:
。 作用於任何一個粒子 Pi 的凈力,經過虛位移 ,所作的虛功為零。因此,所有虛功的總和也是零:
。 分析到這裡,請特別注意,對於任意位移,虛功總和方程式都是正確的。因此,原本的向量方程式,仍舊可以從虛功總和方程式求得。讓我們繼續分析。將凈力細分為外力 與約束力 :
。 如果,一切約束力,因為虛位移,所作的虛功總合是零。則約束力項目可以從方程式中移去。
。 特別注意,現在, 很可能不等於零。實際上,我們應該認為它不等於零。
符合約束力虛功總和是零的實例:
剛體的約束是 。這裡,粒子 與粒子 的位置分別為 與 , 是常數。所以,兩個粒子虛位移()的關係為 。 有

3兩種可能的狀況

在這狀況下,粒子作用於粒子的力方向與粒子作用於粒子的力正好相反。兩隻力所作的虛功互相抵銷。 : 因為 ,所以, 。虛功總合仍舊是零。 所以,在剛體內,粒子與粒子之間的作用力與反作用力所作的虛功總合是零。
思考木塊在平滑地面上的移動。因為木塊的重量,而產生的反作用力,是地面施加於木塊的一種約束力。這約束力垂直於虛位移。所以,它所作的虛功等於零。可是,假若木塊移動的地面是粗糙的,則會有摩擦力產生。由於虛位移平行於摩擦力,虛功不等於零。所以,達朗伯特原理不適用於這狀況。但是,如果是一隻輪子滾動於粗糙的表面上,因為摩擦點是不動的,虛功等於零,又可以用到達朗伯特原理了。 在動力學里,也有一個對應的原理,叫做達朗伯特原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。
結構力學中剛體體系的虛功原理:設滿足理想約束的剛體體系上作用任何的平衡力系,又假設體系發生滿足約束條件的無限小的剛體位移,則主動力在位移上所做的虛功總和恆為零。
結構力學中變形體體系的虛功原理:體系在任意平衡力系作用下,給體系以幾何可能的位移和變形,體系上所有外力所作的虛功總和恆等於體系各截面所有內力在微段變形上所作的虛功總和。
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