表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將代數結構中的元素「表示」成向量空間上的線性變換,藉以研究結構的性質。
略言之,表示論將一代數對象表作較具體的矩陣,並使得原結構中的操作對應到矩陣運算,如矩陣的合成、加法等等。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構;其中肇源最早,用途也最廣的是群表示論。設 G 為群,其在域 F (常取複數域 F = C )表示是一 F-矢量空間 V 及映至一般線性群之群同態。
假設 V 有限維,則上述同態即是將 G 的元素映成可逆矩陣,並使得群運算對應到矩陣乘法。
表示論的妙用在於能將抽象的代數問題轉為線性代數的操作;若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示,並要求一些連續性條件,此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題。
表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群,而群的研究又有賴於其表示,最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。「表示」的概念後來也得到進一步的推廣,例如範疇的表示。
上一篇[青鶴]    下一篇 [非交換幾何]

相關評論

同義詞:暫無同義詞