標籤:複變函數

複數是指能寫成如下形式的數a+bi,這裡a和b是實數,i是虛數單位(即-1開根)。 由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入,經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作,此概念逐漸為數學家所接受。 複數有多種表示法,諸如向量表示、三角表示,指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是複變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。另外,複數還指在英語中與單數相對,兩個及兩個以上的可數名詞。

1起源

最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家海倫,他考慮的是平頂金字塔不可能問題。
16世紀義大利米蘭學者卡當(Jerome Cardan1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被後人稱之為「卡當公式」。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成(5+√-15)*(5-√-15)=25-(-15)=40,儘管他認為5+√-15和5-√-15這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40。給出「虛數」這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使「虛的數」與「實的數」相對應,從此,虛數才流傳開來。
數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨(1646—1716)在1702年說:「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」。瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:「一切形如,√-1,√-2的數學式子都是不可能有的,想象的數,因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數,我們只能斷言,它們既不是什麼都不是,也不比什麼都不是多些什麼,更不比什麼都不是少些什麼,它們純屬虛幻。」然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾(1717—1783)在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是a+bi的形式(a、b都是實數)。法國數學家棣莫弗(1667—1754)在1730年發現了著名的棣莫佛定理(見上文)。歐拉在1748年發現了有名的關係式,並且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位。「虛數」實際上不是想象出來的,而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾(1745—1818)在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視。
十八世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。
卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球體,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿岡的複平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,次年他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家的注意,包括庫默爾(1844年)、克羅內克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮庫克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如素數,推廣至複數。
德國數學家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於坐標軸的直線,它們的交點C就表示複數a+bi。象這樣,由各點都對應複數的平面叫做「複平面」,後來又稱「阿甘得平面」。高斯在1831年,用實數組(a,b)代表複數a+bi,並建立了複數的某些運算,使得複數的某些運算也象實數一樣地「代數化」。他又在1832年第一次提出了「複數」這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數一一對應,擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用複數與向量之間一一對應的關係,闡述了複數的幾何加法與乘法。至此,複數理論才比較完整和系統地建立起來了。
經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了複數理論,才使得在數學領域遊盪了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不虛呵。虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了複數集。
隨著科學和技術的進步,複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。複數理論在生活中也有。

2定義

複數的模
將複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模,記作∣z∣.
即對於複數z=a+bi,它的模
∣z∣=√(a^2+b^2)
複數的集合用C表示,實數的集合用R表示,顯然,R是C的真子集。
複數集是無序集,不能建立大小順序。
複數的輻角
在複變函數中,自變數z可以寫成 z= r*(cosθ + i sinθ) .r是z的模,即r = |z|; θ是z的輻角。 在0到2π間的輻角稱為輻角主值,記作: arg(z)
任意一個不為零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍。把適合於-π<θ≤π的輻角θ的值,叫做輻角的主值,記作argz。輻角的主值是唯一的。且有Arg(z)=arg(z)+2kπ

3運演算法則

乘法法則
複數的乘法法則:把兩個複數相乘,類似兩個多項式相乘,結果中i^2 = -1,把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。
即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
開方法則
若z^n=r(cosθ+isinθ),則
z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1)
i的乘方法則
i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1(其中n∈Z)
複數三角形式
設複數z1、z2的三角形式分別為r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那麼z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)](在複數平面內為模相乘,角相加。)
z1÷z2=(r1÷r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](在複數平面內為模相除,角相減。)
複數集不同於實數集的幾個特點是:開方運算永遠可行(不包括純虛數集)
一元n次復係數方程總有n個根(重根按重數計);複數不能建立大小順序。
複數與幾何
幾何表示法
①幾何形式
複數z=a+bi 被複平面上的點 z(a,b )唯一確定。這種形式使複數的問題可以藉助圖形來研究。也可反過來用複數的理論解決一些幾何問題。
②向量形式。複數z=a+bi用一個以原點O為起點,點Z(a,b)為終點的向量OZ表示。這種形式使複數四則運算得到恰當的幾何解釋。
③三角形式。複數z=a+bi化為三角形式
z=r(cosθ+isinθ)
式中r= √(a^2+b^2),是複數的模(即絕對值)
θ 是以x軸為始邊,射線OZ為終邊的角,叫做複數的輻角,輻角的主值記作arg(z)
這種形式便於作複數的乘、除、乘方、開方運算。
④指數形式。將複數的三角形式z=r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ換為 exp(iθ),複數就表為指數形式z=rexp(iθ)

4復球面

用直線將複平面內任一點z與N相連, 必與球面相交於P點, 則球面上除N點外的所有點和複平面上的所有點有一一對應的關係, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作. 這樣的球面稱作復球面.
除了複數的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示複數.
擴充複數域---引進一個「新」的數∞:
擴充複平面---引進一個「理想點」: 無窮遠點 ∞.
約定:
a/0=∞,a/∞=0(a╪∞),∞/a=∞(a╪∞),
a*∞=∞*a(a╪0),a±∞=∞±a(a╪∞).
注: 若無特殊說明,平面均指有限複平面。

5乘冪方根

1、 乘積與商
定理1 兩個複數乘積的模等於它們的模相乘,兩個複數乘積的輻角等於它們的輻角相加。
證明 設 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
則 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2e i(θ1+θ2)
因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
幾何意義 將複數z1按逆時針方向旋轉一個角度
複數
Argz2,再將其伸縮到|z2|倍。
定理1可推廣到n 個複數的乘積。
複數
定理2 兩個複數的商的模等於它們的模的商,兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。
複數
2、複數的乘冪
定義 n個相同的複數z 的乘積,稱為z 的n次冪,記作z^n,即z^n=z竰竰(共n個)。
設z=re iθ,由複數的乘法定理和數學歸納法可證
明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。特別:當|z|=1時,即:zn=cosnθ+isin nθ,則有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
一棣模佛(De Moivre)公式。
3、複數的方根(開方)——乘方的逆運算
問題 給定複數z=re i ,求所有的滿足ωn=z 的複數ω。
複數
複數
複數運算的幾何意義
複數a+bi、c+di分別對應複平面上以原點為起點的向量(a,b)與(c,d)。
兩者相乘相當於如下變換:
在複平面上
將向量(a,b)伸長或縮短複數c+di的模倍,然後逆時針轉過複數c+di輻角的度數,得到的新向量即是兩複數
乘積對應的向量。
如:(1+i)*(1+i)=2i。將向量(1,1)伸長為複數1+i的模倍(即根2倍),然後逆時針轉過1+i的輻角度數(即45˙),得到向
量(0,2),即乘積2i所對應的向量
除法與乘法相反。
加法與減法的幾何意義:複數對應的向量在複平面上進行平行四邊形或三角形法則運算。
由此可見,複數的運算可以表示二維平面上的伸縮和旋轉變換。

6平面點集

簡單曲線
重點:設連續曲線C:z=z(t),a≤t≤b,對於t1∈(a,b), t2 ∈[a, b],當t1≠t2時,若z(t1)=z(t2),稱z(t1)為曲線C的重點。
定義:稱沒有重點的連續曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C 滿足z(a)=z(b)時,則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。
複數
複數
簡單閉曲線的性質
任一條簡單閉曲線 C:z=z(t),t∈[a,b],把複平面唯一地分成三個互不相交的部分:一個是有界區域,稱為C的內部;一個是無界區域,稱為
C的外部;還有一個是它們的公共邊界。
導數定義
複數
如果w=f(z)在區域D內處處可導,則稱f (z)在區域D內可導。
註:(1) Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零。
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1:如圖所示:
複數
2.求導公式與法則----實函數中求導法則的推廣① 常數的導數 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然數).
複數
證明如圖所示:
③ 設函數f (z),g (z) 均可導,則有如圖所示:
複數
④複合函數的導數 ⑤ 反函數的導數 如圖所示:
複數
例2,3,4如圖所示:
複數
註:(1) 複變函數在一點處可導,要比實函數在一點處可導要求高得多,也複雜得多,這是因為Δz→0是在平面區域上以任意方式趨於零的原故。
(2) 在高等數學中要舉出一個處處連續,但處處不可導的例題是很困難的,
複數
但在複變函數中,卻輕而易舉。
可導與可微
可微定義:如圖所示:
複數

7積分

柯西積分定理
(1)實變函數的線積分: 如圖所示:
複數
複數
(2)柯西定理的來由與基本定理:
複數
複數
複數
(3)原函數與不定積分
推論:如圖所示:
複數
定理2 :如圖所示:
複數
複數
(4)原函數的定義:如圖所示:
複數
不定積分與積分計算公式:如圖所示:
複數
實例:如圖冊所示:

複變函數積分實例

複變函數積分實例
(5)小結 求積分的方法
複數

8解析函數

充要條件
見圖:
複數
複數
複數
複數
定理1 設 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內有定義,則 f (z)在點 z=x+iy ∈D處可導的充要條件是u(x, y) 和 v(x, y) 在點 (x, y ) 可微,且滿足Cauchy-Riemann方程,見圖:
複數
證明「=〉」見圖集:

解析函數的充要條件的定理1的

解析函數的充要條件的定理1的
定理2 函數f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內解析充要
條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內可微,且
滿足Cauchy-Riemann方程
複數
見圖:
註:1.由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯繫.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.
2.利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.
推論:見圖
複數
解析函數退化為常數的幾個充分條件:
(a) 函數在區域內解析且導數恆為零;
(b) 解析函數的實部、虛部、模或輻角中有一個恆為常數;
(c) 解析函數的共軛在區域內解析。

9調和函數

定義:如圖所示:
複數
定理:如圖所示:
複數
對定理的證明過程,如圖所示:
複數
複數
共軛調和函數:
定義:如圖所示:
複數
定義的相關知識,如圖冊所示:

共軛調和函數關於定義的相關知識

共軛調和函數關於定義的相關知識
定理:如圖所示:
複數
定理公式推導過程,如圖所示:
複數
複數
例1:如圖冊所示:

調和函數的實例

調和函數的實例

10分類

數的分類拓展到複數範圍后,我們對複數範圍的數集做以下分類
複數(a+bi)——集合符號C
實數(b=0)——集合符號R
有理數——集合符號Q(p/q)
(一)正有理數——集合符號Q+
正整數——集合符號N+或N*
1--質數--合數正分數--0
-負有理數——集合符號Q-
-負整數——集合符號Z-
-負分數
(二)整數——集合符號Z
(自然數)——集合符號N--奇數--偶數--分數--無理數--正無理數--負無理數
--虛數(b≠0)
--純虛數(a=0)
--混虛數(a≠0)

11應用

信號分析
信號分析和其他領域使用複數可以方便的表示周期信號。模值|z|表示信號的幅度,輻角arg(z)表示給定頻率的正弦波的相位。
利用傅立葉變換可將實信號表示成一系列周期函數的和。這些周期函數通常用形式如下的複函數的實部表示:
其中ω對應角頻率,複數z包含了幅度和相位的信息。
電路分析中,引入電容、電感與頻率有關的虛部可以方便的將電壓、電流的關係用簡單的線性方程表示並求解。(有時用字母j作為虛數單位,以免與電流符號i混淆。)
量子力學
量子力學中複數是十分重要的,因其理論是建基於複數域上無限維的希爾伯特空間。
應用數學
實際應用中,求解給定差分方程模型的系統,通常首先找出線性差分方程對應的特徵方程的所有復特徵根r,再將系統以形為f(t) =e的基函數的線性組合表示。
碎形
一些碎形如曼德勃羅集合和茹利亞集(Julia set) 是建基於複平面上的點的。
引子
數系理論的歷史發展表明,數的概念的每一次擴張都標誌著數學的進步,但是這種進步並不是按照數學教科書的邏輯步驟展開的。希臘人關於無理數的發現暴露出有理數系的缺陷,而實數系的完備性一直要到19世紀才得以完成。負數早在《九章算術》中就已被中國數學家所認識,然而,15世紀的歐洲人仍然不願意承認負數的意義。「四元數」的發明,打開了通向抽象代數的大門,同時也宣告在保持傳統運算定律的意義下,複數是數系擴張的終點。人類發明的記數法並沒有束縛自己的想象力,中國古代「數窮則變」的思想對於當代數學哲學仍具有積極的意義。
數,是數學中的基本概念,也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標誌著數學的巨大飛躍。一個時代人們對於數的認識與應用,以及數系理論的完善程度,反映了當時數學發展的水平。今天,我們所應用的數系,已經構造的如此完備和縝密,以致於在科學技術和社會生活的一切領域中,它都成為基本的語言和不可或缺的工具。在我們得心應手地享用這份人類文明的共同財富時,是否想到在數系形成和發展的歷史過程中,人類的智慧所經歷的曲折和艱辛呢?
大數記法
古代希臘人曾經提出一個問題:他們認為世界上的沙子是無窮的,即使不是無窮,也沒有一個可以寫出來的數超過沙子的數。阿基米德(Archimedes,BC287 - 212)的回答是:不。在《數沙術》中,阿基米德以萬(myriad)為基礎,建立新的記數法,使得任何大的數都能表示出來。他的做法是:從1起到1億(原文是萬萬,myriad myriads,這裡按照中文的習慣改稱為億)叫做第1級數;以億(10^8)為第2 級數的單位,從億起到億億(即10^16)叫做第2級數;在以億億為單位,直到億億億(10^24)叫做第3級數。直到第1億級數的最後一數億億。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數目不過是10^51,即使擴充到「恆星宇宙」,即以太陽到恆星的距離為半徑的天球,也不過只能容納10^63個沙粒!
同樣的問題也出現在中國古代。漢代以前,數皆10進,以10萬為億。韋昭解《國語·鄭語》第十六:「計億事,材兆物,收經入,行垓極」。注稱「計,算也;材,裁也。賈唐說皆以萬萬為億,鄭后司農云:十萬曰億,十億曰兆,從古數也。」《數術記遺》中則詳細記載了對大數的一整套命名和三種進位方法。《數術記遺》稱:
黃帝為法,數有十等,及其用也,乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載;三等者,謂上、中、下也。其下數者。十十變之,若言十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京也。中數者,萬萬變之,若言萬萬曰億、萬億曰兆,萬兆曰京。上數者,數窮則變,若言萬萬曰億,億億曰兆,兆兆曰京也。從億至載,終於大衍。
《數術記遺》中的「大數之法」的數學意義並不僅僅在於它構造了三種記數方法,更為重要的是它揭示了人們對數的認識從有限走向無限的艱難歷程。客觀的需要和數學的發展都促使人們去認識和把握越來越大的數。起初,對一些較大的數,人們還可以理解它,還能夠利用已有的記數單位去表示它。但是,隨著人們認識的發展,這些大數也在迅速的擴張,原有的記數單位難以為用。人們不禁要問:
數有窮乎?
這是數系發展中的需要回答的重大命題。《數術記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對話,精彩的闡明了「數窮則變」的深刻道理:
徐岳問曰:數有窮乎?
會稽(劉洪)答曰:吾曾游天目山中,見有隱者,世莫知其名,號曰天目先生,余亦以此意問之。先生曰:世人言三不能比兩,乃雲捐悶與四維。數不識三,妄談知十。不辨積微之為量,詎曉百億於大千?黃帝為法,數有十等。……從億至載,終於大衍。
會稽問曰:先生之言,上數者數窮則變,既雲終於大衍,大衍有限,此何得無窮?
先生答曰:數之為用,言重則變,以小兼大,又加循環。循環之理,且有窮乎!
天目先生的做法是藉助「以小兼大」的「循環之理」,以有限來認識無限,而指引這一途徑的重要思想是「言重則變」。即便是今日,「數窮則變」這一樸素的辯證思維所蘊涵的深邃哲理仍值得人們深思。
負數
今兩算得失相反,要令正負以名之。正算赤,負算黑,否則以斜正為異。方程自有赤黑相取,左右數相推求之術。而其並減之勢不得廣通,故使赤黑相消奪之。……故赤黑相雜足以定上下之程,減益雖殊足以通左右之數,差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之,負無入正之,其率不妄也。
負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲,但16世紀和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數,或者即使承認了也並不認為它們是方程的根。如丘凱(Nicolas Chuquet ,)和斯蒂費爾(Stifel,) 都把負數說成是荒謬的數,是「無稽之零下」。卡丹(Cardan,1501- 1576) 把負數作為方程的根,但認為它們是不可能的解,僅僅是一些記號;他把負根稱作是虛有的。韋達(Vieta,1540- 1630) 完全不要負數,帕斯卡(Pascal,1623- 1662) 則認為從0減去4純粹是胡說。
負數是人類第一次越過正數域的範圍,前此種種的經驗,在負數面前全然無用。在數系發展的歷史進程中,現實經驗有時不僅無用,反而會成為一種阻礙。我們將會看到,負數並不是惟一的例子。
複數
複數概念的進化是數學史中最奇特的一章,那就是數系的歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之後,才去嘗試新的征程。在數系擴張的歷史過程中,往往許多中間地帶尚未得到完全認識,而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經到達了遙遠的前哨陣地。
1545年,此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數,然而他們智力又面臨一個新的「怪物」的挑戰。例如卡丹在所著《重要的藝術》(1545)中提出一個問題:把10分成兩部分,使其乘積為40。這需要解方程x (10-x) = 40,他求得的根是5-√-15 和5+√-15,然後說「不管會受到多大的良心責備,」把5+√-15和5-√-15相乘,得到25-(-15)=40。於是他說,「算術就是這樣神妙地搞下去,它的目標,正如常言所說,是有精緻又不中用的。」笛卡爾(Descartes,1596-1650)也拋棄復根,並造出了「虛數」(imaginary number)這個名稱。對複數的模糊認識,萊布尼茲(Leibniz,1646- 1716)的說法最有代表性:「聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示,這就是那個理想世界的端兆,那個介於存在與不存在之間的兩棲物,那個我們稱之為虛的—1的平方根。」
直到18世紀,數學家們對複數才稍稍建立了一些信心。因為,不管什麼地方,在數學的推理中間步驟中用了複數,結果都被證明是正確的。特別是1799年,高斯(Gauss,1777- 1855)關於「代數基本定理」的證明必須依賴對複數的承認,從而使複數的地位得到了近一步的鞏固。當然,這並不是說人們對「複數」的顧慮完全消除了。甚至在1831年,棣莫甘(De Morgan,1806- 1871) 在他的著作《論數學的研究和困難》中依然認為:
"……
已經證明了記號 是沒有意義的,或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而,通過這些記號,代數中極其有用的一部分便建立起來的,它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實,即代數的一般規則可以應用於這些式子(複數)。
……"
我們知道,18世紀是數學史上的「英雄世紀」,人們的熱情是如何發揮微積分的威力,去擴大數學的領地,沒有人會對實數系和複數系的邏輯基礎而操心。既然複數至少在運演算法則上還是直觀可靠的,那又何必去自找麻煩呢?
1797年,挪威的韋塞爾(C. Wessel,1745-1818) 寫了一篇論文「關於方向的分析表示」,試圖利用向量來表示複數,遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文後,才被人們重視。瑞士人阿甘達(J. Argand,1768-1822) 給出複數的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數是正數的一個擴張,它是將方向和大小結合起來得出的,他的思路是:能否利用新增添某種新的概念來擴張實數系?在使人們接受複數方面,高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為複平面上的一點 ( a,b),而且闡述了複數的幾何加法和乘法。他還說,如果1,-1 和 原來不稱為正、負和虛單位,而稱為直、反和側單位,那麼人們對這些數就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數真正有一個新的看法,他引進術語「複數」(complex number)以與虛數相對立,並用 i 代替。
在澄清複數概念的工作中,愛爾蘭數學家哈米爾頓(Hamilton,1805 – 1865) 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯,並不滿足於幾何直觀。他指出:複數a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個真正的和,加號的使用是歷史的偶然,而 bi 不能加到a 上去。複數a+ bi 只不過是實數的有序數對(a,b),並給出了有序數對的四則運算,同時,這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下,不僅複數被邏輯地建立在實數的基礎上,而且至今還有點神秘的-1的平方根也完全消除了。
實變初等函數
我們把數學分析中基本的實變初等函數推廣到復變初等函數,使得定義的各種復變初等函數,當z變為實變數x(y=0)時與相應的實變初等函數相同。
注意根據這些定義,在z為任意復變數時,
①.哪些相應的實變初等函數的性質被保留下來
②.哪些相應的實變初等函數的性質不再成立
③.出現了哪些相應的實變初等函數所沒有的新的性質。
複數的三角函數
證明:把yi代入泰勒級數,藉助sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+R
複數
n(x)和cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... +Rn(x)來化簡即可;
同理可得a^ix=cos(xlna)+isin(xlna)= (e^ix)^lna.
藉助e^ix=cosx+isinx可以方便地證明棣莫佛定理

12英語語法

一般方法
(1)直接加-s, 如:bag-bags.
(2)當單數名詞結尾為s,z,x,sh,軟音ch時加-es, 如:box-boxes, peach-peaches. (o有時也是,如hero-heroes)
(3)不規則變化,如:ox-oxen, child-children, man-men, tooth-teeth.
(4)不變化,如:deer-deer, sheep-sheep,mouse-mouse.
(5) 在中間加-s,用於連詞,如:hanger_on-hangers_on,maid_of_honor-maids_of_honor.

13公式口決

虛數單位i一出,數集擴大到複數。一個複數一對數,橫縱坐標實虛部。
對應複平面上點,原點與它連成箭。箭桿與X軸正向,所成便是輻角度。
箭桿的長即是模,常將數形來結合。代數幾何三角式,相互轉化試一試。
代數運算的實質,有i多項式運算。i的正整數次冪,四個數值周期現。
一些重要的結論,熟記巧用得結果。虛實互化本領大,複數相等來轉化。
利用方程思想解,注意整體代換術。幾何運算圖上看,加法平行四邊形,
減法三角法則判;乘法除法的運算,逆向順向做旋轉,伸縮全年模長短。
三角形式的運算,須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方開方極方便。
輻角運算很奇特,和差是由積商得。四條性質離不得,相等和模與共軛,
兩個不會為實數,比較大小要不得。複數實數很密切,須注意本質區別。
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