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解析幾何系指藉助坐標系,用代數方法研究集合對象之間的關係和性質的一門幾何學分支,亦叫做坐標幾何。解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分

解析幾何解析幾何
解析幾何系指藉助坐標系,用代數方法研究集合對象之間的關係和性質的一門幾何學分支,亦叫做坐標幾何。解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角坐標系,建立點與實數對之間的一一對應關係,以及曲線與方程之間的一一對應關係,運用代數方法研究幾何問題,或用幾何方法研究代數問題。17世紀以來,由於航海、天文、力學、軍事、生產的發展,以及初等幾何和初等代數的迅速發展,促進了解析幾何的建立,並被廣泛應用於數學的各個分支。在解析幾何創立以前,幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合,使形與數統一起來,這是數學發展史上的一次重大突破。作為變數數學發展的第一個決定性步驟,解析幾何的建立對於微積分的誕生有著不可估量的作用。

1 解析幾何 -歷史

解析幾何1637年,法國的哲學家和數學家笛卡爾(圖)發表了他的著作《方法論》
十六世紀以後,由於生產和科學技術的發展,天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如,德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的,太陽處在這個橢圓的一個焦點上;義大利科學家伽利略發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線,要研究這些比較複雜的曲線,原先的一套方法顯然已經不適應了,這就導致了解析幾何的出現。

 

1637年,法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》,這本書的後面有三篇附錄,一篇叫《折光學》,一篇叫《流星學》,一篇叫《幾何學》。當時的這個「幾何學」實際上指的是數學,就像中國古代「算術」和「數學」是一個意思一樣。

 

笛卡爾的《幾何學》共分三卷,第一卷討論尺規作圖;第二卷是曲線的性質;第三卷是立體和「超立體」的作圖,但他實際是代數問題,探討方程的根的性質。後世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。

 

 從笛卡爾的《幾何學》中可以看出,笛卡爾的中心思想是建立起一種「普遍」的數學,把算術、代數、幾何統一起來。他設想,把任何數學問題化為一個代數問題,在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。為了實現上述的設想,笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發,指出平面上的點和實數對(x,y)的對應關係。x,y的不同數值可以確定平面上許多不同的點,這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。

 

解析幾何紀念笛卡兒發明解析幾何的郵票
具體地說,平面解析幾何的基本思想有兩個要點:第一,在平面建立坐標系,一點的坐標與一組有序的實數對相對應;第二,在平面上建立了坐標系后,平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這裡可以看到,運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決,而且還把變數、函數以及數和形等重要概念密切聯繫了起來。

 

解析幾何的產生並不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前,就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系;也有人在研究天文、地理的時候,提出了一點位置可由兩個「坐標」(經度和緯度)來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。在數學史上,一般認為和笛卡爾同時代的法國業餘數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一,應該分享這門學科創建的榮譽。

 

費爾馬是一個業餘從事數學研究的學者,對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和,好靜成癖,對自己所寫的「書」無意發表。但從他的通信中知道,他早在笛卡爾發表《幾何學》以前,就已寫了關於解析幾何的小文,就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年,費爾馬死後,他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。笛卡爾的《幾何學》,作為一本解析幾何的書來看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,為開闢數學新園地做出了貢獻。

2 解析幾何 -基本內容

解析幾何費爾馬是一個業餘從事數學研究的學者
在解析幾何中,首先是建立坐標系。取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線,叫做平面上的一個直角坐標系oxy。利用坐標系可以把平面內的點和一對實數(x,y)建立起一一對應的關係。除了直角坐標系外,還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。坐標系將幾何對象和數、幾何關係和函數之間建立了密切的聯繫,這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關係的研究了。用這種方法研究幾何學,通常就叫做解析法。這種解析法不但對於解析幾何是重要的,就是對於幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。

 

解析幾何的創立,引入了一系列新的數學概念,特別是將變數引入數學,使數學進入了一個新的發展時期,這就是變數數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。恩格斯對此曾經作過評價「數學中的轉折點是笛卡爾的變數,有了變書,運動進入了數學;有了變數,辯證法進入了數學;有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了,……」

3 解析幾何 -應用

解析幾何學慣用品中的圓錐曲線
解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中,除了研究直線的有關直線的性質外,主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關性質。在空間解析幾何中,除了研究平面、直線有關性質外,主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質,在生產或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面,燈絲在一個焦點上,影片門在另一個焦點上;探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理製成的。

 

總的來說,解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題:一類是滿足給定條件點的軌跡,通過坐標系建立它的方程;另一類是通過方程的討論,研究方程所表示的曲線性質。運用坐標法解決問題的步驟是??何條件「翻譯」成代數方程;然後運用代數工具對方程進行研究;最後把代數方程的性質用幾何語言敘述,從而得到原先幾何問題的答案。坐標法的思想促使人們運用各種代數的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題,一旦運用代數方法后就變得平淡無奇了。坐標法對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具。

 

希臘著名學者梅內克繆斯(公元前4世紀)企圖解決當時的著名難題「倍立方問題」(即用直尺和圓規把立方體體積擴大一倍)。他把直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉三角形ABC一周,得到曲面ABECE',如圖1。用垂直於AC的平面去截此曲面,可得到曲線EDE',梅內克繆斯稱之為「直角圓錐曲線」。他想以此在理論上解決「倍立方問題。」未獲成功。而後,便撤開「倍立方問題」,把圓錐曲線做為專有概念進行研究:若以直角三角形ABC中的長直角邊AC為軸旋轉三角形ABC一周,得到曲面CB'EBE',如圖2。用垂直於BC的平面去截此曲面,其切口為一曲線,稱之為「銳角圓錐曲線」;若以直角三角形ABC中的短直角邊AB為軸旋轉三角形ABC一周,可得到曲面BC'ECE'。用垂直於BV的平面去截此曲面,其切口曲線EDE'稱為「鈍角圓錐曲線」。當時,希臘人對平面曲線還缺乏認識,上述三種曲線須以「圓錐曲面為媒介得到,因此,被稱為圓錐曲線的「雛形」。

4 解析幾何 -相關書籍

解析幾何《解析幾何》
《解析幾何》
作者:尤承業

ISBN:9787301045800
頁數:312
出版社: 北京大學出版社
裝幀:平裝
出版年:2004-01-01

簡介:本書是學習幾何學的入門教材。書中既講解了空間解析幾何的基本內容和方法(向量代數,仿射坐標系,空間的直線和平面,常見曲面等),等講解了仿射幾何學中的基本內容和思想(仿射坐標變換,二次曲線的仿射理論,仿射變換和保距變換等),還介紹了射影幾何學中的基本知識,較好地反映了幾何學課程的全貌。全書共分五章,每章內都附有一定數量的習題,書末附有習題答案和提示,便於讀者深入學習或自學。本書突出幾何思想的教育,強調形與數的結合;方法上強調解析法和綜合法並重;內容編排上採用「實例-理論-應用」的方式,具體易懂;內容選取上兼顧各類高校的教學情況,具有廣泛的適用性。本書表達通順,說理嚴謹,闡述深入淺出。因此,本書是一本頗具特色、為廣大高校歡迎的解析幾何課程教材。本書可作為綜合性大學和師範類大學數學系、物理系等相關學科的教材,對於那些對幾何學有興趣的大學生和其他讀者也是一本適宜的課外讀物或參考書。

5 解析幾何 -分支學科

算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學

6 解析幾何 -參考資料

[1] 大科普網 http://www.ikepu.com/maths/maths_branch/analytic_geometry_total.htm
[2] 豆瓣網 http://www.douban.com/subject/1253554/?from-mb=11720547

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