標籤: 暫無標籤

解析數論是使用數學分析作為工具來解決數論問題的分支。微積分和複變函數論發展以後,產生了解析數論。

1 解析數論 -解析數論

 

2 解析數論 -正文

  數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。分析方法在數論中的應用,可以追溯到18世紀L.歐拉的時代。歐拉證明了對實變數s>1有恆等式解析數論成立,並由此推出素數有無窮多個。歐拉恆等式(*)是數論中最重要的定理之一,是算術基本定理的解析等價形式,揭示了素數p和自然數n之間的積性關係。他還提出了母函數法,利用冪級數來研究整數分拆,這導致圓法和指數和方法的產生。其後,P.G.L.狄利克雷應用分析方法於1837年解決了首項與公差互素的算術級數中有無限多個素數的問題,又於1839年推證出二次域的類數公式。他創立了研究數論的兩個重要工具,即狄利克雷(剩餘)特徵標與狄利克雷l函數,奠定了解析數論的基礎。
  1859年,(G.F.)B.黎曼發表了一篇關於不大於x的素數個數π(x)的著名論文《論不大於一個給定值的素數個數》,這是他在數論方面公開發表的惟一的文章。他把恆等式(*)的右邊的級數記作ζ(s),所不同之處是把s看作復變數。現在稱ζ(s)為黎曼ζ函數。他認為素數性質可以通過複變函數ζ(s)來探討,並對複變函數ζ(s)做了深刻的研究,得到許多重要結果。特別是他建立了一個與ζ(s)的零點有關的表示π(x)的公式。因此研究素數分佈的關鍵在於研究複變函數ζ(s)的性質,特別是ζ(s)的零點性質。這一傑出的工作,是複變函數論的思想和方法應用於數論研究的結果。黎曼開創了解析數論的新時期,也推動了單複變函數論的發展。在文章中他提出了一個猜想:ζ(s)的所有復零點都在直線 Res=1/2上。這就是所謂黎曼猜想。它是至今沒有解決的最著名的數學問題之一。它的研究對解析數論和代數數論的發展都有極其深刻的影響。
  1896年,J.(-S.)阿達馬與C.de la瓦萊-普桑嚴格地按照黎曼提出的方法和結果,用整函數理論,同時證明了素數定理:當x→∞時,π(x)~x(lnx)-1。從此解析數論開始得到迅速發展,而在此以前的30年中卻無顯著進展。
  在數論中應用分析方法,大致有兩種情況:一是數論問題本身不涉及分析概念。這類問題又可分為兩種情形,或者有一些問題不應用分析方法就不能解決,例如,上述的狄利克雷的兩個工作、三素數定理(見數論、堆壘數論)、華林問題;或者有一些問題應用分析方法可使證明簡單、可以對問題做定量研究,例如,應用母函數法對整數分拆的一些恆等式的證明、歐拉證明素數有無窮多個的分析方法導致H.默滕斯證明了關於素數平均分佈的三個定理、堆壘數論的許多問題引入分析方法證明解的存在性,得出解數的漸近公式或上下界估計。二是數論問題本身必須用分析概念才能表達清楚。例如,關於素數定理,即不大於x的素數個數π(x)等於多少的問題(見素數分佈)。此外,利用分析概念還可提出新的數論問題,例如各種數論函數的階估計及均值估計(見格點問題)。
  解決一個數論問題需要用到多深的分析工具,或者能否不用分析工具。這也是數學家努力為之探索的問題。例如,在1949年A.賽爾伯格與P.愛爾特希不利用ζ函數,且除了極限、ex和lnx的性質外,也不需要其他的分析知識,給出了素數定理一個十分初等的分析證明。當然它是很複雜的。
  解析數論起源於素數分佈、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究。解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等。模形式論與解析數論有密切關係。

 

3 解析數論 -配圖

 

4 解析數論 -相關連接

上一篇[求你再愛我]    下一篇 [芬蘭]

相關評論

同義詞:暫無同義詞