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記數法表示數字的力一法。現在世界上通用的記數法是十進位記數法,它包含十個數碼:0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9,逢十進位,稱為進率。電子計算機中常採用二進位和八進位記數法,二進位進率是二,八進位進率是八。

1二進位數的表示法

表示
對於有n位整數,m位小數的二進位數用加權係數展開式表示,可寫為:
(N)2=an-1×2n-1+an-2×2n-2+……+a1×21+a0×20+a-1×2-1+a-2×2-2
+……+a-m×2-m=
式中aj表示第j位的係數,它為0和1中的某一個數。
二進位數一般可寫為:(an-1an-2…a1a0.a-1a-2…a-m)2。
二進位加法
有四種情況:  0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0           進位為1
【例1103】求  (1101)2+(1011)2  的和
解:            1   1   0   1
+      1   0   1   1
1   1   0   0   0

二進位乘法

有四種情況:        0×0=0
1×0=0
0×1=0
1×1=1
【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之積
解:             1   1   1   0
×        1   0   1
1   1    1    0
0   0    0    0
+   1   1   1   0         
1   0   0   0   1    1    0

2萊布尼茨的二進位

在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館(Schlossbiliothke zu Gotha)保存著一份彌足珍貴的手稿,其標題為:
「1與0,一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範,因為,一切無非都來自上帝。」
這是德國天才大師萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646 - 1716)的手跡。但是,關於這個神奇美妙的數字系統,萊布尼茨只有幾頁異常精鍊的描述。用現代人熟悉的話,我們可以對二進位作如下的解釋:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 16
2^5 = 32
2^6 = 64
2^7 = 128
以此類推。
把等號右邊的數字相加,就可以獲得任意一個自然數。我們只需要說明:採用了2的幾次方,而舍掉了2幾次方。二進位的表述序列都從右邊開始,第一位是2的0次方,第二位是2的1次方,第三位時2的2次方……,以此類推。一切採用2的成方的位置,我們就用「1」來標誌,一切舍掉2的成方的位置,我們就用「0」來標誌。這樣,我們就得到了下邊這個序列:
1 1 1 0 0 1 0 1
2的7次方
2的6次方
2的5次方
2的4次方
2的3次方
2的2次方
2的1次方
2的0次方
128+64+32+0+0+4+0+1=229
在這個例子中,十進位的數字「229」就可以表述為二進位的「11100101」。任何一個二進位數字最左邊的一位都是「1」。通過這個方法,用1到9和0這十個數字錶述的整個自然數列都可用0和1兩個數字來代替。0與1這兩個數字很容易被電子化:有電流就是1;沒有電流就是0。這就整個現代計算機技術的根本秘密所在。

3萊布尼茨和八卦

這份手稿完成的時候,萊布尼茨五十歲。毫無疑問,他是這個作為現代計算機技術的基礎的二進位的發明者。而且,在此之前,或者與他同時,似乎沒有一個人想到過這個問題。這在數學史上是很罕見的。
萊布尼茨不僅發明了二進位,而且賦予了它宗教的內涵。他在寫給當時在中國傳教的法國耶穌士會牧師布維(Joachim Bouvet,1662 - 1732)的信中說:
「第一天的伊始是1,也就是上帝。第二天的伊始是2,……到了第七天,一切都有了。所以,這最後的一天也是最完美的。因為,此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作『7』,也就是『111』(二進位中的111等於十進位的7),而且不包含0。只有當我們僅僅用0和1來表達這個數字時,才能理解,為什麼第七天才最完美,為什麼7是神聖的數字。特別值得注意的是它(第七天)的特徵(寫作二進位的111)與三位一體的關聯。」
布維是一位漢學大師,他對中國的介紹是17、18世紀歐洲學界中國熱最重要的原因之一。布維是萊布尼茨的好朋友,一直與他保持著頻繁的書信往來。萊布尼茨曾將很多布維的文章翻譯成德文,發表刊行。恰恰是布維向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統,並說明了《周易》在中國文化中的權威地位。
八卦是由八個符號組構成的占卜系統,而這些符號分為連續的與間斷的橫線兩種。這兩個後來被稱為「陰」、「陽」的符號,在萊布尼茨眼中,就是他的二進位的中國翻版。他感到這個來自古老中國文化的符號系統與他的二進位之間的關係實在太明顯了,因此斷言:二進位乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言。
另一個可能引起萊布尼茨對八卦的興趣的人是坦澤爾(Wilhelm Ernst Tentzel),他當時是圖靈根大公爵硬幣珍藏室的領導,也是萊布尼茨的好友之一。在他主管的這個硬幣珍藏中有一枚印有八卦符號的硬幣。

4八卦與二進位

今天,西方學界已經獲得了普遍的共識:八卦與二進位沒有直接的關係。首先,中國的數字系統是十進位的。其次,依照我們今天掌握的史料,秦、漢以上,中國還沒有--在萊布尼茨的二進位意義上的--「零」的概念。
假如說《周易》中繫辭的部分講的陰、陽化生萬物就是萊布尼茨所說的0、1為萬物之源,這是難以成立的。今本《周易》大概可以分成三個部分,第一是卦,第二是爻,第三是傳,即所謂的「十翼」。其中,卦的部分應該是最古老的。從《尚書》、《周禮》、《左傳》、《國語》等先秦文獻,以及後來的考古發掘,我們對西周初年的龜卜有了初步的認識。但是,對於「易卜」我們幾乎沒有任何詳細可靠的資料。《周易》中的卦也許就是韓宣子所見到的「易象」。無論如何,我們在卦、爻中基本上看不到陰、陽的影子。陰、陽的系統基本上是在《易傳》中得到完善的發展與表述的,儘管它的淵源一定早過《易傳》。而《易傳》顯然是十進位的體系。通過《漢書·律曆志》的記載,我們不僅可以知道,在《周易》大行於世的時代歷算使用的是十進位,而且其中關鍵數不是1,更不是0,而是2(陰、陽)和3(天、地、人)。(相見拙文《儒家對數學幾何的熱愛》)
另外,道哲學體系中的重要概念「無」與萊布尼茨的0沒有任何直接關係。羅素在《數理哲學道論》中將「0」解釋為:一切沒有分子的類的類。這正是萊布尼茨心目中的「零」。而羅素的這個解釋正是受到了著名德國語言哲學家弗萊格(Gottlob Frege,1848-1925)的著作Grundlage der Arithmetik(《算術基礎》)的啟發。弗萊格、羅素的數論體系中的「零」換成中國話說,就是一切「無」的總稱。而道哲學中的「無」不是卻不是很多「無」的總和,而是那一個特定的「無」,是那一個「道」的本質。
簡單地說,萊布尼茨以來三百年間,西方的科學家與哲學家作過無數的研究,都不能發現二進位與八卦有什麼實質性的聯繫。而在我們中國,秦漢以下,除去利用對八卦特殊的解釋建立哲學系統的努力,我們也基本上看不到對它具有說服力的解釋。

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