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說謊者悖論,又叫謊言者悖論。公元前六世紀,哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):「所有克利特人都說謊,他們中間的一個詩人這麼說。」這就是這個著名悖論的來源。

1起源

西元前6世紀,克利特哲學家埃庇米尼得斯(Epimenides)說了一句很有名的話:「所有克利特人都說謊。」
這句話有名是因為它沒有答案。因為如果埃庇米尼得斯所言為真,但這跟先前假設此言為真相矛盾;又假設此言為假,那麼也就是說所有克利特人都不說謊,自己也是克利特人的埃庇米尼得斯就不是在說謊,就是說這句話是真的,但如果這句話是真的,又會產生矛盾。因此這句話是沒有解釋的。
偶然看到這個問題發現不對,「如果埃庇米尼得斯所言為真,那麼克利特人就全都是說謊者,身為克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外,於是他所說的這句話應為謊言,但這跟先前假設此言為真相矛盾」沒有問題,於是接著這句話只可能是假的,但是並沒有矛盾產生。因為「所有克利特人都說謊。」的假是「存在至少一個克利特人不說謊」,這和克利特人之一的埃庇米尼得斯說真話完全符合。所以如果他真是這麼說的,那麼我們可以分析出來他在說「克利特人中有人不說謊」。
可以構造這樣一個命題:「我在說謊。」這就是一個自指引發的悖論。

2典故

《聖經》里曾經提到:「有克利特人中的一個本地中先知說:『克利特人常說謊話,乃是惡獸,又饞又懶』」(《提多書》第一章)。可見這個悖論很出名,但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。
人們會問:艾皮米尼地斯有沒有說謊?這個悖論最簡單的形式是:「我在說謊」。
「我在說謊」:
如果他在說謊,那麼「我在說謊」就是一個謊言,因此他說的是實話;但是如果這是實話,他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版:「這句話是錯的。」
「這句話是錯的」:
這類悖論的一個標準形式是:如果事件A發生,則推導出非A,非A發生則推導出A,這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的單面體是一個形象的表達。

3羅素命題

問題並不簡單:哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論,並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道:「自亞里士多德以來,無論哪一個學派的邏輯學家,從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的,但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季,其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。」
他說:謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾:「那個說謊的人說:『不論我說什麼都是假的』。事實上,這就是他所說的一句話,但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。」(同上)
羅素試圖用命題分層的辦法來解決:「第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題;第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題;其餘仿此,以至無窮。」但是這一方法並沒有取得成效。「1903年和1904年這一整個時期,我差不多完全是致力於這一件事,但是毫不成功。」

4悖論格式

說一個語句為真,即肯定該語句,也就是維持該語句之真值形式不變。說一個語句為假,即否定該語句,也就是顛倒其真值形式。這是邏輯學中最基本的規則之一。一般認為蘭姆賽(Ramsey)在提出真理冗餘論時最先明確地對之進行了扼要的闡釋。他指出:「P,這是真」(It is true that P)與「P」同義;「P,這是假」(It is false that P)與「-p」同義。該規則的另一種表述是,「P是真」,與「P」同義;「P是假」,與「-p」同義。我們在以後的討淪中姑且將這個規則稱為「蘭姆賽原則」。
說謊者語句可簡單地表述為:這語句是假。根據自古以來關於說謊者悖論內容的約定,說謊者語句的主詞「這語句」指稱說謊者語句即「這語句是假」本身,亦即:
(A)這語句→這語句是假
我們將上式稱為「約定A」,其中符號「→」代表指稱概念。下面的分析將表明,人們在說謊者悖論的推導中,實際上是將約定A中的指稱概念當作邏輯等值概念或同義概念來使用的;因此嚴格地講,人們事實上預設了「這語句」指稱(同義於或等值於)「這語句是假」。當我們斷言說謊者語句為真時,得:
(1)「這語句是假」是真 根據蘭姆賽原則,斷定一個語句是真的,等於肯定該語句,因此由(1)推出:
(2)這語句是假 人們認為(1)與(2)相矛盾。這是說謊者悖論的約定的一半內容。的問題是,單從形式上看,我們不能斷定語句(1)與(2)相矛盾。語句(1)的主詞是「『這語句是假』」,而(2)的主詞是「這語句」,它們二者在形式上並不同一;若要語句(1)與(2)相矛盾,必須使它們的主詞同義,即預設約定A成立;也就是說,必須預設語句(1)和(2)的主詞都指稱說謊者語句本身;如果(1)與(2)的主詞不同義,則它們必不互相矛盾。這樣,我們根據約定A,將(2)的主詞作一代換,得:
(3)「這語句是假」是假 (3)與(1)是典型的形式上的矛盾,(3)亦是(2)的否定。但是為什麼我們會從(1)[通過(2)]推出與其相矛盾的(3)呢?明顯地,我們在以上推理中只使用了唯一的一個具體的邏輯根據,即約定A,我們考察一下約定A在邏輯上是否有問題。
說謊者語句的主詞「這語句」是說謊者語句的指示詞,其語義作用相當於說謊者語句的名稱。語句的指示詞和名稱相當於邏輯學中的命題常項,我們可以將「是真」或「是假」加在其後形成一個肯定句或否定句。就此而論,「這語句是假」可看作是對其主詞「這語句」的否定,這點也可從說謊者語句說自身為假這個事實看出來,即說謊者語句意謂著:
(4)這語句是假,這是假 而「這語句」意謂著說謊者語句本身即語句(2)。從邏輯上看,語句(4)是(2)的否定,或者說這兩個語句是互相矛盾的。這表明,說謊者語句的意謂是其主詞的意謂的否定。由此我們就證明了說謊者語句是其主詞「這語句」的邏輯上的否定,從而也就證明了約定A是自相矛盾的,因為它表示「這語句」指稱(等值於或同義於)其自身的否定句l。
既然如此,當人們在上面根據約定A用「『這語句是假』」 代換「這語句」從而從(2)推出(3)時,就不自覺地犯了一個邏輯錯誤。因為「『這語句是假」』是語句(2)的名稱的名稱;這意謂著,通過代換,(2)由對「這語句」的否定,變成對「『這語句是假』」的否定,從而由(2)產生了其矛盾句(3)。其原因是明確的,在一個斷定某語句真值的語句中,我們不可用與之相矛盾的表達式代換其主詞,否則的話必然產生與原語句相矛盾的另一個語句。這可以說是邏輯學中的一條簡單的規律。比如,如果我們用-X代換「X是真」中的主詞,得:-x是真,即X是假;等等。當人們用「『這語句是假』」代換「這語句」從而由(2)推出(3)時,就違反了這條規律。在這裡,矛盾的產生是合乎邏輯的,而矛盾的來源顯然是約定A的自相矛盾性被代入該推導之中的結果。事實上違反該規律本是一個邏輯學中的低級錯誤;說謊者悖論的推導實質上就犯了同樣的錯誤。只是自然語言的某種機緣,才將其牢牢地掩蓋住了。
另一方面,如果不使用約定A,則我們不可能從(2)推出(3)。因為在這種條件下,(2)的主詞與(3)的主詞不指稱同一個語句,(2)就不是說其自身為假,而是說其它什麼語句為假。由此清楚地表明了,當人們使用約定A時,就將其矛盾性代入了相關推理之中,悖論的結論因此而產生。事實上,從邏輯上講,按蘭姆賽原則(2)與(1)是同義的;人們只是根據自相矛盾的約定A才認為(2)與(1)相矛盾。這提示出約定A與蘭姆賽原則不相容。當我們斷定說謊者語句為假時,基本道理也一樣,不再贅述。至此我們可得出如下結論:導致說謊者悖論的邏輯根源不是別的,只是約定A的自相矛盾性,它使得說謊者語句說自身為假,從而使得說謊者語句意謂著與其矛盾的語句,故當人們根據蘭姆賽原則斷定說謊者語句的真值時,就合乎邏輯地推出與其相矛盾的語句。除了人們事先預設了約定A並在其後對之加以應用之外,關於說謊者悖論的一切推導都在邏輯規律的控制之下。
通過以上討論我們已能看清,自相矛盾的約定A是說謊者悖論得以產生的邏輯充要條件。但約定A本身的自相矛盾性是如何產生的呢?在日常語言中,當我們用一個表達式指稱語言外的任何事物時,由於語言符號的任意性 ,我們在指稱上不可能犯邏輯錯誤;不過我們若用一個表達式指稱另一個表達式,則語言符號的任意性就會失效,我們在一定條件下便會犯邏輯錯誤。因為在該種條件下,我們用一個表達式指稱作為其自身否定的一個語句(就像在約定A的情況下那樣)。這在如下意義上是違反邏輯基本規律的:其一,它使得該表達式就是被其所指稱的語句的主詞,從而導致該被指稱語句說自身為假。其二,如果一表達式P指稱(等值於)其否定句-p,那麼倘若我們肯定P,也就等於肯定-p,即p→-p;如果否定P,也就等於否定-p,即-p→p。這實際上即是說謊者悖論推導的結構;這種矛盾等值式邏輯上導源於約定A。其三,從推理技術上講,如果我們規定一個表達式指稱其自身的否定句,則在推理中我們就可合法地用該否定句(的名稱)代換該表達式,從而使得該推理歸於無效。故我們不能設定一個表達式指稱其自身的否定而不違反邏輯基本規律。
蘇姍·哈克曾表述過一個衡量什麼才可算作悖論的解的基本標準,即必須獨立於導致悖論的結論這一點而證明對前提表達式或推論原則的反駁。該標準已被學界普遍接受。據此凡是僅根據悖論的結論,而使用否定後件式推理規則來反駁其前提表達式的任何「解決方案」都是無價值的。應著重指出的是,我們關於約定A之自相矛盾性的論證是獨立於說謊者悖論之推導及該悖論之結論的;換言之,即使我們從來沒有斷定過說謊者語句的真值,因而說謊者悖論從不會產生,約定A本身仍是固有地自相矛盾的。人們自古以來對其從語法上看不出任何問題的說謊者語句(或其變體)為何會導致悖論這一點一直困惑不解,我們明白了,正是約定A(或其變體)的這種獨立的矛盾性,使得說謊者語句的主詞在指稱關係上,從而使得說謊者語句在意謂或內容上固有地、從一開始就犯了邏輯錯誤,以後所推出的悖論結論正是將該矛盾應用於相關推論中的合乎邏輯的結果,說謊者語句之語法的無可挑剔性牢牢地掩蓋了這一點。

5其它相關

《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的,並且使用邏輯術語說明概念,迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言里稱這是:「發表一本包含那麼多未曾解決的爭論的書。」可見,從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。接下來他指出,在一切邏輯的悖論里都有一種「反身的自指」,就是說,「它包含講那個總體的某種東西,而這種東西又是總體中的一份子。」這一觀點比較容易理解,如果這個悖論是克利特以外的什麼人說的,悖論就會自動消除。但是在集合論里,問題並不這麼簡單。
事實上,我們要討論這個悖論,問「這句話是不是正確的」是沒有意義的。我們充其量只能問:"這個模型是否滿足人類邏輯?"
很明顯,這句話是對它本身的描述,因此他是一個模型。而這個模型的建立,需要在以下邏輯上:
"如果A,那麼非A。'
但這種邏輯不被人類邏輯所允許,換言之,這個模型無法在人類邏輯中建立(或者說,它與人類邏輯不協調)也就是說:這句話在本質上就不存在於人類模型中,因此,討論「它是否正確」是無意義的。
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