1調和函數

數學物理方程

  數學物理方程

如果二元函數f(x,y)在區域Ω內有二階連續偏導數且滿足拉普拉斯方程,則稱f為區域
二元函數

  二元函數

Ω中的調和函數.

2滿足拉普拉斯方程

在某區域中滿足拉普拉斯方程的函數。通常對函數本身還附加一些光滑性條件,例如有連續的一階和二階偏導數。當自變數為n個(從而區域是n維的)時,則稱它為n維調和函數。例如,n=2時,調和函數u(x,y)在某平面區域內滿足方程
若所考慮的區域包含一個閉圓域,例如x+yR,則有下列關於調和函數的平均值公式:
u(x,y)在圓心的值等於圓周上的積分平均值。
更一般地,圓內任何一點x=rcosφy=rsinφ(0≤r<R)處調和函數uu(r,φ)的值可以由下列泊松公式給出:
拉普拉斯方程2

  拉普拉斯方程2

拉普拉斯方程1

  拉普拉斯方程1

形如上式右端的積分稱作泊松積分。
u(x,y)為平面區域G中的調和函數,且在G的閉包上連續,則藉助於平均值公式可以證明,它不能在G的內部取其最大值與最小值,除非它恆等於一常數。這就是調和函數的最大、最小值原理。
由泊松積分出發可解決下列狄利克雷問題:在區域G的邊界G上給定一連續函數ƒ(x,y),要求給出G中的調和函數u(x,y),使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值,即
拉普拉斯方程

  拉普拉斯方程

G的邊界嬠G滿足一定的條件下,這個問題的解存在且惟一。
對於高維的調和函數,也有與上述類似的最大、最小值原理,平均值公式以及相應的狄利克雷問題解的存在和惟一性定理。
二維調和函數與解析函數論有著密切聯繫。在某區域內的調和函數一定是該區域內某解析函數(可能多值)的實部或虛部;反之,某區域內的解析函數其實部與虛部都是該區域內的調和函數,並稱其虛部為實部的共軛調和函數。用複數z=x+iy的記法,將u(x,y)寫成u(z),若u(z)在│z│<R內調和,在│z│≤R上連續,則泊松公式就成為
(0≤rR)。
對於任何α,│α│<R,此式還可寫成
泊松積分是近代複變函數論中一個重要的研究工具,由此出發,可得出函數論中一系列重要結果。

3「重調和」方程

u(x,y)滿足「重調和」方程
則稱u是重調和函數,它是數學物理方程理論中的一個重要函數類。調和函數和重調和函數,在力學和物理學中都有重要的應用。類似地也有高維的重調和函數。
複分析

  複分析

由於拉普拉斯方程是橢圓型方程的一個特殊情況,故後者的解的一般性質也是調和函數的性質。

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