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諾特定理是理論物理的中心結果之一,它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關,因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量(譬如位置和動量).

1簡介

諾特定理把對稱性跟守恆量聯繫起來了,非常有用。是指對於力學體系的每一個連續的對稱變換,都有一個守恆量與之對應。對稱變換是力學體系在某種變換下不變。
諾特定理是理論物理的中心結果之一,它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。例如,物理定律不隨著時間而改變,這表示它們有關於時間的某種對稱性。如果我們想象一下,譬如重力的強度每天都有所改變,我們就會違反能量守恆定律,因為我們可以在重力弱的那天把重物舉起,然後在重力強的時候放下來,這樣就得到了比我們開始輸入的能量更多的能量。
諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關,因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量(譬如位置和動量).

2定理的數學表述

不嚴格地講,諾特定理可以如下表述(忽略技術細節):
對於每個局部作用下的可微對稱性,存在一個對應的守恆流。

3更學術化的解釋

上述命題中的「對稱性」一詞精確一點來說是指物理定律在滿足某種技術要求的一維李群作用下所滿足的協變性。物理量的守恆定律通常用連續性方程表達。
定理的形式化命題僅從不變性條件就導出和一個守恆的物理量相應的流的表達式。該守恆量稱為諾特荷,而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個無散度向量場。
應用
諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如:
對於物理系統對於空間平移的不變性(換言之,物理定律不隨著空間中的位置而變化)給出了線性動量的守恆律;
對於轉動的不變性給出了角動量的守恆律;
對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律。
在量子場論中,和諾特定理相似,沃德-高橋恆等式(Ward-Takahashi)產生出更多的守恆定律,例如從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆。
諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵1。

4證明

設我們有一個n維流形M以及一個目標流形T。令為從M到T的光滑函數組成的位形空間。(更一般的情況下,我們可以有一個M上的纖維叢的光滑截面)
物理學中這樣的"M"的例子包括:
經典力學上,哈密頓表述中,M是一個一維流形R,代表時間而目標空間是廣義位置的空間的餘切叢。
場論中,M是時空流形,而目標空間是場在任何給定可取的值的集合。例如,如果有m個實值標量場,φ1,...,φm,則目標流形是Rm。若流形是一個實向量場,則目標流形同構於R3。
現在設有一個泛函
稱為作用量。(注意它在中而非中取值;這是有物理原因的,並且並不影響本證明。)
要得到通常版本的諾特定理,我們需要對作用量作額外的限制。我們假設S[φ]是M上的如下函數的積分
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稱為拉格朗日量,它依賴於φ,包括它在各點的導數和位置。換句話說,對於中的φ
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設我們給出邊界條件,也即,在M為緊緻的情況下φ在邊界的取值,或者在x趨向∞時,φ的極限。則的由滿足如下兩個條件的的φ組成的子空間就是在殼解的子空間,其一是φ的S的泛函導數為零,也即:
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其二是φ滿足給定邊界條件。(參看穩定作用量原理)
現在,假設我們有一個無窮小變換,定義在上,它由一個泛函求導Q生成,滿足
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對於所有緊緻子流形N成立,換句話講(散度定理),
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對於所有x成立,其中我們令
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若這在在殼和離殼都成立,我們稱Q生成一個離殼對稱性。若只在在殼情況成立,稱Q生成在殼對稱性。然後,我們稱Q是單參數對稱性李群的生成元。
現在,對於每個N,因為歐拉-拉格朗日定理,在殼(只有在殼)上,我們有
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因為這對於所有N成立,我們有
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但這無非就是對於如下的流的連續性方程
這被稱為和該對稱性相關的諾特流(Noether current)。該連續性方程說明如果對這個流在空間式切片上積分,就可以得到稱為諾特荷的守恆量(當然,必須假定M非緊緻時,該流趨向無窮遠處時下降足夠快)。

5相關再敘述

常見的例子有動量、能量、角動量守恆跟相應的時空均勻性的關係:
空間均勻性與動量守恆:空間是均勻的,也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一樣的,物理定律在空間平移(不如從地球移到月亮上)變換下是不變的,由諾特定理可以得到存在這麼一個守恆量,即動量。
空間各項同性與角動量守恆:空間是各向同性的,也就是空間沒有一個特殊的方向,我們任意取坐標軸的方向,雖然物理量的數值在各個坐標系當中可能是不一樣的,但物理定律所對應的方程是不變的,比如牛頓運動定律F=ma(矢量形式)在空間旋轉變換下是不變的,我們把坐標軸旋轉,雖然矢量的各個分量變了,但總的方程F=ma(矢量形式)是不變的,這樣,在牛頓力學當中,就存在著一個跟空間各向同性相對應的守恆量--角動量。
時間均勻性跟能量守恆:同樣,由時間均勻性,也就是過去、現在、未來物理定律是一樣的,由諾特定理可以得出存在這麼一個守恆量--能量。
一般諾特定理的證明都是在拉格朗日形式下來證明的,也就是假定我們所發現的力學體系的拉格朗日描述是正確的。
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