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西元前6世紀,哲學家克利特人Epimenides說了一句很有名的話:「所有克利特人都說謊。」這句話有名是因為它一定是錯的。因為如果艾皮米尼地斯所這為真,那麼克利特人就全都是說謊者,身為克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外,於是他所說的這句話應為謊言,如此便產生了矛盾,所以只有在該說法為錯的情況下才合乎邏輯。

1 謊言者悖論 -【謊言者悖論的內容】

 西元前6世紀,哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides)說了一句很有名的話:「所有克利特人謊言者悖論都說謊。他們中間的一個詩人這麼說。」
 這句話有名是因為它沒有答案。因為如果艾皮米尼地斯所言為真,那麼克利特人就全都是說謊者,身為克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外,於是他所說的這句話應為謊言,但這跟先前假設此言為真相矛盾;又假設此言為假,那麼也就是說所有克利特人都不說謊,自己也是克利特人的愛皮米尼地斯就不是在說謊,就是說這句話是真的,但如果這句話是真的,又會產生矛盾。因此這句話是沒有解釋的。
謊言者悖論就是指一個人說:「這句話是假的。」因為無論這句話是真是假都會導出矛盾。

2 謊言者悖論 -【經典悖論導讀】

古今中外有不少著名的悖論,它們震撼了邏輯和數學的基礎,激發了人們求知和精密的思考謊言者悖論,吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考,悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
本文將根據悖論形成的原因,粗略地把它歸納為六種類型,分上、中、下三個部份。這是第一部份:
由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論
(一)由自指引發的悖論
以下諸例都存在著一個概念自指或自相關的問題:如果從肯定命題入手,就會得到它的否定命題;如果從否定命題入手,就會得到它的肯定命題。  
1-1謊言者悖論
公元前六世紀,哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):「所有克利特人都說謊,他們中間的一個詩人這麼說。」這就是這個著名悖論的來源。
《聖經》里曾經提到:「有克利特人中的一個本地中先知說:『克利特人常說謊話,乃是惡獸,又饞又懶』」(《提多書》第一章)。可見這個悖論很出名,但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。
人們會問:艾皮米尼地斯有沒有說謊?這個悖論最簡單的形式是:「我在說1-2「我在說謊」
如果他在說謊,那麼「我在說謊」就是一個謊,因此他說的是實話;但是如果這是實話,他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版:「這句話是錯的。」
1-3「這句話是錯的」
這類悖論的一個標準形式是:如果事件A發生,則推導出非A,非A發生則推導出A,這是一個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的單面體是一個形像的表達。
哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論,並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》里說道:「自亞里士多德以來,無論哪一個學派的邏輯學家,從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的,但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季,其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。」
他說:謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾:「那個說謊的人說:『不論我說什麼都是假的』。事實上,這就是他所說的一句話,但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。」(同上)
羅素試圖用命題分層的辦法來解決:「第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題;第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題;其餘仿此,以至無窮。」但是這一方法並沒有取得成效。「1903年和1904年這一整個時期,我差不多完全是致力於這一件事,但是毫不成功。」(同上)

3 謊言者悖論 -《數學原理》

《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的,並且使用邏輯術語說明概念,迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言里稱這是:「發表一本包含那麼許多未曾解決的爭論的書。」可見,從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。
接下來他指出,在一切邏輯的悖論里都有一種「反身的自指」,就是說,「它包含講那個總體的某種東西,而這種東西又是總體中的一份子。」這一觀點比較容易理解,如果這個悖論是克利特以為的什麼人說的,悖論就會自動消除。但是在集合論里,問題並不這麼簡單。

4 謊言者悖論 -【悖論定義】

悖論是指一種導致矛盾的命題。悖論(paradox)來自希臘語「para+dokein」,意思是「多想一想」。 如果謊言者悖論承認它是真的,經過一系列正確的推理,卻又得出它是假的;如果承認它是假的,經過一系列正確的推理,卻又得出它是真的。(zh.wikipedia.org/wiki/悖論)
把集合分成兩類,凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集,(例如,自然數集N本身不是一個自然數,因此N是正常集。)凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。(例如,所有的非生物的集合F並非生物,因此F是異常集。)
這樣,許多日常中常見的悖論(說謊者悖論,理髮師悖論,上帝悖論等)都可以歸入異常集之中了。
另外一種悖論是關於無限的,雖然我們現在基本上都能接受極限的理論,但是要把這個理論向那些不懂的人解釋還是十分困難的。
比較經典的有:
(古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)的阿基里斯悖論)阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜,因為當他要到達烏龜出發的那一點,烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜的距離可以無限地縮小,但永遠追不上烏龜。
(古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea)的二分法悖論)當一個物體行進一段距離到達D,它必須首先到達距離D的二分之一,然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此,這個物體永遠也到達不了D。

「1厘米線段內的點與太平洋麵上的點一樣多」
康托爾(1845-1918)成功地證明了:一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應,也能和空間中的點一一對應。由於無限,1厘米長的線段內的點,與太平洋麵上的點,以及整個地球內部的點都「一樣多」。
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