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變分法在理論物理中非常重要:在拉格朗日力學中,以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。

1 變分法 -名稱定義

  變分法(calculus of variations)是處理函數的函數的數學領域,和處理數的函數的普通微積分相對。譬如,這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數:它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達:一個例子是最速降線,在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

2 變分法 -變分法的定理

  變分法的關鍵定理是歐拉-拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時,在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
  變分法在理論物理中非常重要:在拉格朗日力學中,以及在最小作用原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎,它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有,黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。
  同樣的材料可以出現在不同的標題中,例如希爾伯特空間技術,莫爾斯理論,或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面(肥皂泡)上也有很多研究工,稱為Plateau問題。
  最優控制的理論是變分法的一個推廣。

3 變分法 -數學物理與變分法

  物理學中泛函極值問題的提出促進了變分學的建立和發展,而變分學的理論成果則不斷滲透到物理學中。
  物理學中的變分原理 P.de費馬從歐幾里得確立的光的反射定律出發提出了光的最小時間原理:光線永遠沿用時最短的路徑傳播。他原先懷疑光的折射定律,但在1661年費馬發現從他的光的最小時間原理能夠推導出折射定律,不僅消除了早先的懷疑,而且更加堅信他的原理。拉格朗日把變分法用到動力學上。他引進廣義坐標q1,q2,…,qn,假定動能T是 q=(q1,q2,…,qn)和孭=(孭1,孭2,…,孭n)的函數,孭表示。他又假定力有位勢V,V是q的函數,又假定T V是常量,即能量守恆定律成立,令L=T-V,稱為作用量,拉格朗日的最小作用原理是說真實的運動使作用量取極小值。通過歐拉方程,拉格朗日建立他的運動方程,據此推出了力學的主要定律,並解決了一些新的問題。這些工作都記載在他在1788年出版的《分析力學》一書中。

4 變分法 -大範圍變分法

  18世紀是變分法的草創時期,建立了極值應滿足的歐拉方程並據此解決了大量具體問題。19世紀人們把變分法廣泛應用到數學物理中去,建立了極值函數的充分條件。20世紀伊始,希爾伯特在巴黎國際數學家大會講演中提到的23個著名數學問題中就有三個與變分法有關,變分法的思想貫穿了R.庫朗和希爾伯特所著的《數學物理方法》一書。而H.M.莫爾斯的大範圍變分法則是20世紀變分法發展的標誌(見莫爾斯理論)。

5 變分法 -《變分法》教學大綱

  《變分法》教學大綱
  課程編碼:07141001
  課程名稱:變分法
  英文名稱:Calculus of Variations
  開課學期:第6學期
  學時/學分:30/1.5 (其中實驗學時:0學時)
  課程類型:學位基礎選修課
  開課專業:機械科學與工程學院 工程力學專業
  選用教材:講稿
  主要參考書:《彈性力學》 徐芝綸編著 高等教育出版社
  《彈性和塑性力學的變分法》 鷲津久一郎著
  《廣義變分原理》 錢偉長著
  執筆人:周振平
  課程性質、目的與任務
  《變分法》是工程力學專業本科生的專業課之一,是選修課,是《彈性力學》課程提高和延伸部分。用廣泛的變分方法來解決彈性力學的邊值問題,建立了彈性力學的幾個變分原理,從這些變分原理出發,用一致的方法導出各種類型彈性力學的平衡方程。變分原理為各種近似解奠定了理論基礎,是從事固體力學研究人員必備的專業理論,為進一步學習有限元理論,塑性力學等提供了必要的理論基《變分法》教學大綱

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