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費馬費馬(Pierre de Fermat,1601~1665)法國著名數學家,被譽為「業餘數學家之王」。他自己證明了他的大定理,他是先用畢達哥拉斯方程的通解公式證明這個畢氏公式中的數X,Y,Z無大於2的同次冪數存在,再把他的定理的不等式公式無窮遞降到2次方時可以發現,他的不等式公式為二次方時,不等式中的數X,Y,Z都是同次冪數,而畢達哥拉斯方程中的數X,Y,Z不是同次冪數,這時用比較法完全可以判定他的定理成立。

1 費馬 -人物簡介

費馬生性內向,謙抑好靜,不善推銷自己,不善展示自我。因此他生前極少發表自己的論著,連一部完整的著作也沒

費馬費馬

 有出版。他發表的一些文章,也總是隱姓埋名。《數學論集》還是費馬去世後由其長子將其筆記、批註及書信整理成書而出版的。我們現在早就認識到時間性對於科學的重要,即使在l7世紀,這個問題也是突出的。費馬的數學研究成果不及時發表,得不到傳播和發展,並不完全是個人的名譽損失,而是影響了那個時代數學前進的步伐。   

對費馬來說,真正的事業是學術,尤其是數學。費馬通曉法語、義大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語,而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利,使他有能力學習和了解阿拉伯和義大利的代數以及古希臘的數學。正是這些,可能為費馬在數學上的造詣莫定了良好基礎。在數學上,費馬不僅可以在數學王國里自由馳騁,而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。這也不能絕對歸於他的數學天賦,與他的博學多才多少也是有關係的。

2 費馬 -人物生平

幼年生活

費馬(也譯為「費爾馬」)1601年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。他的父親多米尼克·費馬在當地開了一家大皮革商店,擁有相當豐厚的產業,使得費馬從小生活在富裕舒適的環境中。   

費馬的父親由於富有和經營有道,頗受人們尊敬,並因此獲得了地方事務顧問的頭銜,但費馬小的時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。費馬的母親名叫克拉萊·德·羅格,出身穿袍貴族。多米尼克的大富與羅格的大貴族構築了費馬極富貴的身價。

學習時期

費馬小時候受教於他的叔叔皮埃爾,受到了良好的啟蒙教育,培養了他廣泛的興趣和愛好,對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時,費馬才進入博蒙·德·洛馬涅公學,畢業后先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。   

17世紀的法國,男子最講究的職業是當律師,因此,男子學習法律成為時髦,也使人敬羨。有趣的是,法國為那些有產的而缺少資歷的「准律師」儘快成為律師創造了很好的條件。1523年,佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關,公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生,便應時代的需要而一發不可收拾,且彌留今日。

官場生涯

鬻賣官職,一方面迎合了那些富有者,使其獲得官位從而提高社會地位, 另一方面也使政府的財政狀況得以好轉。因此到了17世紀,除宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日,法院的書記官、公證人、傳達人等職務,仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產,使許多中產階級從中受惠,費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業,便在博蒙·德·洛馬涅買好了「律師」和「參議員」的職位。等到費馬畢業返回家鄉以後,他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員,時值1631年。   

儘管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職,而且逐年得到提升,但是據記載,費馬並沒有什麼政績,應付官場的能力也極普通,更談不上什麼領導才能。不過,費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了七年地方議會議員之後,升任了調查參議員,這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。  

1642年,有一位權威人士叫勃里斯亞斯,他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭,這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年,費馬升任議會首席發言人,以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道,不過費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明,贏得了人們的信任和稱讚。

入籍貴族

費馬的婚姻使費馬躋身於穿袍貴族的行列,費馬娶了他的舅表妹露伊絲·德·羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬,如今乾脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標誌「de」。   

費馬生有三女二男,除了大女兒克拉萊出嫁之外,四個子女都使費馬感到體面。兩個女兒當上了牧師,次子當上了菲瑪雷斯的副主教。尤其是長子克萊曼特·薩摩爾,他不僅繼承了費馬的公職,在1665年當上了律師,而且還整理了費馬的數學論著。如果不是費馬長子積極出版費馬的數學論著,很難說費馬能對數學產生如此重大的影響,因為大部分論文都是在費馬死後,由其長子負責發表的。從這個意義上說,薩摩爾也稱得上是費馬事業上的繼承人。

去世

費馬一生身體健康,只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過,費馬開始感到身體有變,因此於1月l0日停職。第三天,費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯公墓,後來改葬在圖盧茲的家族墓地中。

3 費馬 -主要貢獻

對解析幾何的貢獻

費馬獨立於勒奈·笛卡兒發現了解析幾何的基本原理。   

1629年以前,費馬便著手重寫公元前三世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充,對古希臘幾何學,尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理,對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。   

費馬於1636年與當時的大數學家梅森、羅貝瓦爾開始通信,對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事,因而1679年以前,很少有人了解到費馬的工作,而現在看來,費馬的工作卻是開創性的。   

《平面與立體軌跡引論》中道出了費馬的發現。他指出:「兩個未知量決定的—個方程式,對應著一條軌跡,可以描繪出一條直線或曲線。」費馬的發現比勒奈·笛卡兒發現解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。   

笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的,而費馬則是從方程出發來研究軌跡的,這正是解析幾何基本原則的兩個相對的方面。   

在1643年的一封信里,費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面,指出:含有三個未知量的方程表示一個曲面,並對此做了進一步地研究。

對微積分的貢獻

16、17世紀,微積分是繼解析幾何之後的最璀璨的明珠。人所共知,牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者,並且在其之前,至少有數十位科學家為微積分的發明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中,費馬仍然值得一提,主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示,以致於在微積分領域,在牛頓和萊布尼茨之後再加上費馬作為創立者,也會得到數學界的認可。   

曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老,最早可追溯到古希臘時期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積,曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙,後來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由於約翰尼斯開普勒在探索行星運動規律時,遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題,無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。儘管這種方法並不完善,但卻為自卡瓦列里到費馬以來的數學家開闢廠一個十分廣闊的思考空間。   

費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法,對微積分做出了重大貢獻。

對概率論的貢獻

早在古希臘時期,偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論,但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期,義大利出現了卡爾達諾等數學家研究骰子中的博弈機會,在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀,法國的帕斯卡和費馬研究了義大利的帕喬里的著作《摘要》,建立了通信聯繫,從而建立了概率學的基礎。   

費馬考慮到四次賭博可能的結局有2×2×2×2=16種,除了一種結局即四次賭博都讓對手贏以外,其餘情況都是第一個賭徒獲勝。費馬此時還沒有使用概率一詞,但他卻得出了使第一個賭徒贏得概率是15/16,即有利情形數與所有可能情形數的比。這個條件在組合問題中一般均能滿足,例如紙牌遊戲,擲銀子和從罐子里模球。其實,這項研究為概率的數學模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎,儘管這種總結是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。   

費馬和布萊士·帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的:在一個被假定有同等技巧的博弈者之間,在一個中斷的博弈中,如何確定賭金的劃分,已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論:一個博弈者A需要4分獲勝,博弈者B需要3分獲勝的情況,這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。   

一般概率空間的概念,是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看,有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時,它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。

對數論的貢獻

17世紀初,歐洲流傳著公元三世紀古希臘數學家丟番圖所寫的《算術》一書。l621年費馬在巴黎買到此書,他利用業餘時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數範圍內,從而開始了數論這門數學分支。   

費馬在數論領域中的成果是巨大的,其中主要有:   

費馬大定理:n>2是整數,則公式x^n+y^n不等於z^n,這個是不等式,它已經由中國數學家毛桂成證明了(1993年),證明的過程是相當艱深的!他是用費爾馬所說的絕妙方法證明的。由畢達哥拉斯方程的通解公式可知,當(A平方減B平方)乘(A平方加B平方)不是一個平方數時則費馬大定理成立。英國數學家 安德魯.懷爾斯作假證明的是一個無理數等式方程公式,定理的名稱應為毛桂成大定理,[毛桂成大定理:任何一個數為大於1的N(N大於2)次冪數,只能分解成兩個實數(無理數)的同次冪數之和,]這不是費爾馬大定理的整數不等式,他沒有看懂費馬大定理,他把毛桂成大定理當成了費馬大定理,故懷爾斯沒有證明費馬大定理。他證明的是毛桂成大定理的無理數中也無整數解。這是可以不證自明的,是一個公理。  

費馬小定理:a^p-a≡0(mod p),其中p是一個素數,a是正整數,它的證明比較簡單。事實上它是Euler定理的一個特殊情況,Euler定理是說:a^φ(n)-1≡0(mod n),a,n都是正整數,φ(n)是Euler函數,表示和n互素的小於n的正整數的個數(它的表達式歐拉已經得出,可以在「Euler公式」這個詞條里找到)。 

另外還有:   

(1)全部大於2的素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。   

(2)形如4n+1的素數能夠,而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。   

(3)沒有一個形如4n+3的素數,能表示為兩個平方數之和。   

(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊;4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊;類似地,4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。   

(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。   

(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和;它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和;5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數之和,以此類推,直至無窮。   

(7)發現了第二對親和數:17296和18416。   

十六世紀,已經有人認為自然數里就僅有一對親和數:220和284。有一些無聊之士,甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感,編出了許許多多神話故事。還宣傳這對親和數在魔術、法術、占星術和占卦上都有重要作用等等。  

距離第一對親和數誕生2500多年以後,歷史的車輪轉到十七世紀,1636年,法國「業餘數學家之王」費馬找到第二對親和數17296和18416,重新點燃尋找親和數的火炬,在黑暗中找到光明。兩年之後,「解析幾何之父」——法國數學家勒奈·笛卡兒(René Descartes)於1638年3月31日也宣布找到了第三對親和數9437506和9363584。費馬和笛卡爾在兩年的時間裡,打破了二千多年的沉寂,激起了數學界重新尋找親和數的波濤。

對光學的貢獻

費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理,也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期,歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後,這個定律逐漸被擴展成自然法則,並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的「大自然以最短捷的可能途徑行動」的結論最終得出來,並影響了費馬。費馬的高明之處則在於變這種的哲學的觀念為科學理論。   

費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時,其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是萊昂哈德·歐拉,競用變分法技巧把這個原理用於求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就,給出了最小作用原理的具體形式:對一個質點而言,其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值;即對該質點所取的實際路徑來說,必須是極大或極小。

4 費馬 -錯誤貢獻

早在1640年,費馬說他發現形如Fn=2^(2^n)+1的數全是素數,比如當n=0~4時,3,5,17,257,65537都是素數,不過從第五個數開始由於數字過大,費馬並沒有進行驗算。但後來在1732年時,大數學家歐拉發現,n=5時,641*6700417=4294967297卻是個合數。並且以後被發現的數都是合數,最大的是n=1495時的Fn.

5 費馬 -評價

費馬一生從未受過專門的數學教育,數學研究也不過是業餘之愛好。然而,在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵:他是解析幾何的發明者之一;對於微積分誕生的貢獻僅次於艾薩克·牛頓、戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨,概率論的主要創始人,以及獨承17世紀數論天地的人。此外,費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學天才費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家之一。

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