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費馬大定理: 當整數n > 2時,關於x, y, z的公式為 x^n + y^n =/= z^n 。

1 費馬大定理 -費爾馬大定理的由來

故事涉及到兩位相隔1400年的數學家,一位是古希臘的丟番圖,一位是法國的費爾馬。丟番圖活動於公元250年前後。 

1637年,30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時,他在書中關於不定方程 x2+ y2 =z2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道:「任何一個數的立方,不能分成兩個數的立方之和;任何一個數的四次方,不能分成兩個數的四次方之和,一般來說,不可能將一個高於二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法,可惜這裡的空白地方太小,寫不下。」 

費爾馬去世后,人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年,他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記,大家才知道這一問題。後來,人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是:形如x^n +y^n =z^n 的方程,當n大於2時沒有正整數解。 

費爾馬是一位業餘數學愛好者,被譽為「業餘數學家之王」。1601年,他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時期是在家裡受的教育。長大以後,父親送他在大學學法律,畢業后當了一名律師。從1648年起,擔任圖盧茲市議會議員。 

他酷愛數學,把自己所有的業餘時間都用於研究數學和物理。由於他思維敏捷,記憶力強,又具備研究數學所必須的頑強精神,所以,獲得了豐碩的成果,使他躋身於17世紀大數學家之列。 

2 費馬大定理 -艱難的探索

起初,數學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個「美妙證法」,但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x3+ y3 =z3 和 x4 + y4 =z4 不可能有正整數解。 

因為任何一個大於2的整數,如果不是4的倍數,就一定是某一奇素數或它的倍數。因此,只要能證明n=4以及n是任一奇素數時,方程都沒有正整數解,費爾馬大定理就完全證明了。n=4的情形已經證明過,所以,問題就集中在證明n等於奇素數的情形了。 

在歐拉證明了 n= 3, n= 4以後, 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n= 5的情形, 1839年拉梅證明了 n= 7的情形。就這樣,一個一個奇素數證下去的長征便開始了。 

其中,德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數的方法,引入了自己發明的「理想數」和「分圓數」的概念,指出費爾馬大定理只可能在n等於某些叫非正則素數的值時,才有可能不正確,所以只需對這些數進行研究。這樣的數,在100以內,只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n= 37、59、67時,方程xn+ yn=zn是不可能有正整數解的。這就把費爾馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾「成批地」證明了定理的成立,人們視之為一次重大突破。1857年,他獲得巴黎科學院的金質獎章。 

這一「長征」式的證法,雖然不斷地刷新著記錄,如 1992年更進到n=1000000,但這不等於定理被證明。看來,需要另闢蹊徑。 

3 費馬大定理 -10萬馬克獎給誰

從費爾馬時代起,巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金,獎勵證明費爾馬大定理的人,布魯塞爾科學院也懸賞重金,但都無結果。1908年,德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候,將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會,作為費爾馬大定理的解答獎金。 

哥庭根科學會宣布,獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。 

10萬馬克在當時是一筆很大的財富,而費爾馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。於是,不僅專搞數學這一行的人,就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民,都在鑽研這個問題。在很短時間內,各種刊物公布的證明就有上千個之多。 

當時,德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜誌,自願對這方面的論文進行鑒定,到 1911年初為止,共審查了111個「證明」,全都是錯的。後來實在受不了沉重的審稿負擔,於是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是,證明的浪潮仍洶湧澎湃,雖然兩次世界大戰後德國的貨幣多次大幅度貶值,當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是,熱愛科學的可貴精神,還在鼓勵著很多人繼續從事這一工作。

4 費馬大定理 -背景


  

17世紀的一位法國數學家,提出了一個數學難題,使得後來的數學家一籌莫展,這個人就是費馬(1601——1665)。

這道題是這樣的:當n>2時,x^n+y^n=z^n沒有正整數解。在數學上這稱為「費馬大定理」。為了獲

費馬大定理費馬大定理

得它的一個肯定的或者否定的證明,歷史上幾次懸賞徵求答案,一代又一代最優秀的數學家都曾研究過,即使用現代的電子計算機也只能證明:當n小於等於4100萬時,費馬大定理是正確的。由於當時費馬聲稱他已解決了這個問題,但是他沒有公布結果,於是留下了這個數學難題中少有的千古之謎。

5 費馬大定理 -費馬簡介


費馬(1601~1665)

Fermat,Pierre de

費馬是法國數學家,1601年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。他的父親多米尼克·費馬在當地開了一家大皮革商店,擁有相當豐厚的產業,使得費馬從小生活在富裕舒適的環境中。

費馬的父親由於富有和經營有道,頗受人們尊敬,並因此獲得了地方事務顧問的頭銜,但費馬小的時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。費馬的母親名叫克拉萊·德·羅格,出身穿袍貴族。多米尼克的大富與羅格的大貴族構築了費馬極富貴的身價。

費馬小時候受教於他的叔叔皮埃爾,受到了良好的啟蒙教育,培養了他廣泛的興趣和愛好,對他的性格也產生了重要的影響。直到14歲時,費馬才進入博蒙·德·洛馬涅公學,畢業后先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。

17世紀的法國,男子最講究的職業是當律師,因此,男子學習法律成為時髦,也使人敬羨。有趣的是,法國為那些有產的而缺少資歷的「准律師」儘快成為律師創造了很好的條件。1523年,佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關,公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生,便應時代的需要而一發不可收拾,且彌留今日。

鬻賣官職,一方面迎合了那些富有者,使其獲得官位從而提高社會地位,另一方面也使政府的財政狀況得以好轉。因此到了17世紀,除宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日,法院的書記官、公證人、傳達人等職務,仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產,使許多中產階級從中受惠,費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業,便在博蒙·德·洛馬涅買好了「律師」和「參議員」的職位。等到費馬畢業返回家鄉以後,他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員,時值1631 年。

儘管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職,而且逐年得到提升,但是據記載,費馬並沒有什麼政績,應付官場的能力也極普通,更談不上什麼領導才能。不過,費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了七年地方議會議員之後,升任了調查參議員,這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。

1642年,有一位權威人士叫勃里斯亞斯,他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭,這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年,費馬升任議會首席發言人,以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道,不過費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明,贏得了人們的信任和稱讚。

費馬的婚姻使費馬躋身於穿袍貴族的行列,費馬娶了他的舅表妹露伊絲·德·羅格。原本就為母親的貴族血統而感驕傲的費馬,如今乾脆在自己的姓名上加上了貴族姓氏的標誌「de」。

費馬生有三女二男,除了大女兒克拉萊出嫁之外,四個子女都使費馬感到體面。兩個女兒當上了牧師,次子當上了菲瑪雷斯的副主教。尤其是長子克萊曼特·薩摩爾,他不僅繼承了費馬的公職,在1665年當上了律師,而且還整理了費馬的數學論著。如果不是費馬長子積極出版費馬的數學論著,很難說費馬能對數學產生如此重大的影響,因為大部分論文都是在費馬死後,由其長子負責發表的。從這個意義上說,薩摩爾也稱得上是費馬事業上的繼承人。

對費馬來說,真正的事業是學術,尤其是數學。費馬通曉法語、義大利語、西班牙語、拉丁語和希臘語,而且還頗有研究。語言方面的博學給費馬的數學研究提供了語言工具和便利,使他有能力學習和了解阿拉伯和義大利的代數以及古希臘的數學。正是這些,可能為費馬在數學上的造詣莫定了良好基礎。在數學上,費馬不僅可以在數學王國里自由馳騁,而且還可以站在數學天地之外鳥瞰數學。這也不能絕對歸於他的數學天賦,與他的博學多才多少也是有關係的。

費馬生性內向,謙抑好靜,不善推銷自己,不善展示自我。因此他生前極少發表自己的論著,連一部完整的??埋名。《數學論集》還是費馬去世後由其長子將其筆記、批註及書信整理成書而出版的。我們現在早就認識到時間性對於科學的重要,即使在l7世紀,這個問題也是突出的。費馬的數學研究成果不及時發表,得不到傳播和發展,並不完全是個人的名譽損失,而是影響了那個時代數學前進的步伐。

費馬一生身體健康,只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過,費馬開始感到身體有變,因此於1月l0日停職。第三天,費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯公墓,後來改葬在圖盧茲的家族墓地中。

費馬一生從未受過專門的數學教育,數學研究也不過是業餘之愛好。然而,在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵:他是解析幾何的發明者之一;對於微積分誕生的貢獻僅次於牛頓、萊布尼茨,概率論的主要創始人,以及獨承17世紀數論天地的人。此外,費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學大才費馬堪稱是 17世紀法國最偉大的數學家。
 

17世紀伊始,就預示了一個頗為壯觀的數學前景。而事實上,這個世紀也正是數學史上一個輝煌的時代。幾何學首先成了這一時代最引入注目的引玉之明珠,由於幾何學的新方法—代數方法在幾何學上的應用,直接導致了解析幾何的誕生;射影幾何作為一種嶄新的方法開闢了新的領域;由古代的求積問題導致的極微分割方法引入幾何學,使幾何學產生了新的研究方向,並最終促進了微積分的發明。幾何學的重新崛起是與一代勤于思考、富於創造的數學家是分不開的,費馬就是其中的一位。

6 費馬大定理 -對解析幾何的貢獻

費馬獨立於笛卡兒發現了解析幾何的基本原理。

1629年以前,費馬便著手重寫公元前三世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充,對古幾何學,尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理,對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。

費馬於1636年與當時的大數學家梅森、羅貝瓦爾開始通信,對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事,因而1679年以前,很少有人了解到費馬的工作,而現在看來,費馬的工作卻是開創性的。

《平面與立體軌跡引論》》中道出了費馬的發現。他指出:「兩個未知量決定的—個方程式,對應著一條軌跡,可以描繪出一條直線或曲線。」費馬的發現比笛卡爾發現解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。

笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的,而費馬則是從方程出發來研究軌跡的,這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面。

在1643年的一封信里,費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面,指出:含有三個未知量的方程表示一個曲面,並對此做了進一步地研究。

7 費馬大定理 -對微積分的貢獻

16、17世紀,微積分是繼解析幾何之後的最璀璨的明珠。人所共知,牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者,並且在其之前,至少有數十位科學家為微積分的發明做了奠基性的工作。但在諸多先驅者當中,費馬仍然值得一提,主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現代形式最接近的啟示,以致於在微積分領域,在牛頓和萊布尼茨之後再加上費馬作為創立者,也會得到數學界的認可。

曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老,最早可追溯到古希臘時期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積,曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙,後來漸漸被人遺忘、直到16世紀才又被重視。由於開普勒在探索行星運動規律時,遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題,無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。儘管這種方法並不完善,但卻為自卡瓦列里到費馬以來的數學家開闢廠一個十分廣闊的思考空間。

費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法,對微積分做出了重大貢獻。

8 費馬大定理 -對概率論的貢獻

早在古希臘時期,偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論,但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期,義大利出現了卡爾達諾等數學家研究骰子中的博弈機會,在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀,法國的帕斯卡和費馬研究了義大利的帕喬里的著作《摘要》,建立了通信聯繫,從而建立了概率學的基礎。

費馬考慮到四次賭博可能的結局有2×2×2×2=16種,除了一種結局即四次賭博都讓對手贏以外,其餘情況都是第一個賭徒獲勝。費馬此時還沒有使用概率一詞,但他卻得出了使第一個賭徒贏得概率是15/16,即有利情形數與所有可能情形數的比。這個條件在組合問題中一般均能滿足,例如紙牌遊戲,擲銀子和從罐子里模球。其實,這項研究為概率的數學模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎,儘管這種總結是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。

費馬和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的:在一個被假定有同等技巧的博弈者之間,在一個中斷的博弈中,如何確定賭金的劃分,已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論:一個博弈者A需要4分獲勝,博弈者B需要3分獲勝的情況,這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。

一般概率空間的概念,是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看,有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時,它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。

9 費馬大定理 -對數論的貢獻

17世紀初,歐洲流傳著公元三世紀古希臘數學家丟番圖所寫的《算術》一書。l621年費馬在巴黎買到此書,他利用業餘時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數範圍內,從而開始了數論這門數學分支。

費馬在數論領域中的成果是巨大的,其中主要有:

(1)全部素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。

(2)形如4n+1的素數能夠,而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。

(3)沒有一個形如4n+3的素數,能表示為兩個平方數之和。

(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊;4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊;類似地,4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。

(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。

(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和;它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和;5次和6次方都只能以3種方式表

10 費馬大定理 -對光學的貢獻

費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理,也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期,歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後,這個定律逐漸被擴展成自然法則,並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的「大自然以最短捷的可能途徑行動」的結論最終得出來,並影響了費馬。費馬的高明之處則在於變這種的哲學的觀念為科學理論。

費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時,其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是歐拉,競用變分法技巧把這個原理用於求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就,給出了最小作用原理的具體形式:對一個質點而言,其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值;即對該質點所取的實際路徑來說,必須是極大或極小。

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