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費馬數是以數學家費馬命名一組自然數,具有形式: 其中 n 為非負整數。若 2n + 1 是素數,可以得到 n 必須是2的冪。(若 n = ab,其中 1 < a, b < n 且 b 為奇數,則 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。)也就是說,所有具有形式 2n + 1 的素數必然是費馬數,這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有 F0 至 F4 五個。

1定義

把(2^(2^n)+1)記為Fn(n為下標),Fn即為費馬數。

2由來

法國數學家費馬於1640年提出了以下猜想:
揭示了十進位和二進位的關係
可以發現
F0=2^(2^0)+1=3
F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
前4個是質數,因為第5個數實在太大了,費馬認為這個數
費馬數

  費馬數

是質數。
由此提出(費馬沒給出證明),形如Fn=2^(2^n)+1 的數都是質數的猜想。後來人們就把形如2^(2^n)+1的數叫費馬數。

3猜想結論

1732年,歐拉算出F5=641×6700417,也就是說F5不是質數,宣布了費馬的這個猜想不成立,它不能作為一個求質數的公式。以後,人們又陸續找到了不少反例,如n=6 時,F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721不是質數。至今這樣的反例共找到了243個,卻還沒有找到第6個正面的例子,也就是說只有n=0,1,2,3,4這5個情況下,Fn才是質數。甚至有人猜想:費馬數n>4時,費馬數全是合數!
接下來的幾個費馬數的分解情況是:
F6 = 274177 × 67280421310721
F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 1238926361552897 ×934616397153 57977769163558199606896584051237541638188580280321
F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737
F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×
568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133
F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×
319546020820551643220672513 × C2391
早已經有人證明,費馬數的因數必然是2^(n+2)*k+1 形,註:(n+2)是右上標。例如n=5時,4294967297=(128×5+1)×(128×52347+1),其中128就是2的7次方。

4性質

任意兩個費馬數都互質。
證明如下:設m>n,(Fm,Fn)=((2^(2^m)-1+2),(2^(2^n)+1)),而(2^(2^m)-1=((2^(2^(m-1))-1)((2^(2^(m-1))+1)=((2^(2^(m-2))-1)((2^(2^(m-2))+1)((2^(2^(m-1))+1)=((2^(2^(m-3))-1)((2^(2^(m-3))+1)((2^(2^(m-2))+1)((2^(2^(m-1))+1)=……=(2^(2^n)+1)(……),所以(2^(2^n)+1)整除((2^(2^m)-1)。根據輾轉相除的原理,(Fm,Fn)=(2,(2^(2^n)+1))=1,所以任意兩個費馬數都互質。

5普遍公式

實際上幾千年來,數學家們一直在尋找這樣的一個公式,一個能求出所有質數的公式;但直到現在,誰也未能找到這樣一個公式,而且誰也未能找到證據,說這樣的公式就一定不存在;這樣的公式存不存在,也就成了一個著名的數學難題。參見百度百科「素數普遍公式」和「孿生素數普遍公式」。那裡有可以構造一切素數的普遍公式。
雖然費馬數作為一個關於質數公式的嘗試失敗了,但有意思的是,1801年數學家高斯證明:如果費馬數k為質數,那麼就可以用直尺和圓規將圓周k等分.高斯本人就根據這個定理作出了正十七邊形.

6具體形式

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數,具有形式:
F_{n} = 2^{2^n} + 1
其中 n 為非負整數。
若 2^n + 1 是素數,可以得到 n 必須是2的冪。(若 n = ab,其中 1 < a,b < n 且 b 為奇數,則 2^n + 1 ≡ (2^a)^b + 1 ≡ (-1)^b + 1 ≡ 0 (mod 2^a + 1)。)也就是說,所有具有形式 2^n + 1 的素數必然是費馬數,這些素數稱為費馬素數。已知的費馬素數只有 F0 至 F4 五個。

7猜想

1640年,在數論領域留下不可磨滅足跡的費馬思考了一個問題:式子2^(2^n)+1 的值是否一定為素數。當 n取0、1、2、3、4時,這個式子對應值分別為3、5、17、257、65537,費馬發現這五個數都是素數。由此,費馬提出一個猜想:形如2^(2^n)+1 的數一定為素數。在給朋友的一封信中,費馬寫道:「我已經發現形如2^(2^n)+1的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。」費馬同時坦白承認,他自己未能找到一個完全的證明。
費馬所研究的2^(2^n)+1這種具有美妙形式的數,後人稱之為費馬數,並用Fn 表示。費馬當時的猜想相當於說:所有費馬數都一定是素數。費馬是正確的嗎?
進一步驗證費馬的猜想並不容易。因為隨著n的增大, Fn 迅速增大。比如對後人來說第一個需要檢驗的F5 =4294967297已經是一個十位數了。非常可能的是,由於這一數太大,所以費馬在得出自己的猜想時並沒有對它進行驗證。那麼,它到底是否如同費馬所相信的那樣是一個素數呢?
1729年12月1日,哥德巴赫(哥德巴赫猜想的提出者)在寫給歐拉的一封信中問道:「費馬認為所有形如 2^(2^n)+1 的數都是素數,你知道這個問題嗎?他說他沒能作出證明。據我所知,也沒有其他任何人對這個問題作出過證明。」
這個問題吸引了歐拉。1732年,年僅25歲的歐拉在費馬死後67年得出F5 =641×6700417,其中641=5×2^7+1 這一結果意味著F5 是一個合數,因此費馬的猜想是錯的。
在對費馬數的研究上,費馬這位偉大的數論天才過分看重自己的直覺,輕率地做出了他一生唯一一次錯誤猜測。更為不幸的是,研究的進展表明費馬不但是錯的,而且非常可能是大錯特錯了。
此後人們對更多的費馬數進行了研究。隨著電子計算機的發展,計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此,在所知的費馬數中竟然沒有再添加一個費馬素數。迄今為止,費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外竟然沒有再發現一個!因此人們開始猜想:在所有的費馬數中,除了前五個是素數外,其他的都是合數。如果這一結論被證實,那麼對於費馬的草率猜想來說,恐怕不會。
費馬合數都是可以用佩爾方程表示,費馬素數不能用佩爾方程表示,參見百度文庫《費馬合數與佩爾方程》。

8變形費馬

變形費馬數是改變了數值,採用同樣性質的費馬數,例如:3^2^n+2。
n=0時,3^2^0+2=5,素數;
n=1時,3^2^1+2=11,素數;
n=2時,3^2^2+2=83,素數;
n=3時,3^2^3+2=6563,素數;
n=4時,3^2^4+2=43046723=19×2265617合數。
是否有無窮多個變形費馬素數?是否有無窮多個變形費馬合數?還是一個未知問題。
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