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費馬最後定理

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費馬最後定理,又名費馬大定理。 當整數n > 2時,關於x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 無正整數解。

1 費馬最後定理 -定義

費馬最後定理 被公認執世界報紙牛耳地位地位的紐約時報於1993年6月24日在其一版頭題刊登了一則有關數學難題得以解決的消息,那則消息的標題是「在陳年數學困局中,終於有人呼叫『我找到了』」。時報一版的開始文章中還附了一張留著長發、穿著中古世紀歐洲學袍的男人照片。這個古意盎然的男人,就是法國的數學家費馬(Pierre de Fermat)(費馬小傳請參考附錄)。費馬是十七世紀最卓越的數學家之一,他在數學許多領域中都有極大的貢獻,因為他的本行是專業的律師,為了表彰他的數學造詣,世人冠以「業餘王子」之美稱,在三百六十多年前的某一天,費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的數學書時,突然心血來潮在書頁的空白處,寫下一個看起來很簡單的定理,這個定理的內容是有關一個方程式 xn + yn =zn的正整數解的問題,當n=2時就是我們所熟知的畢氏定理(中國古代又稱勾股弦定理):x2 + y2 =z2,此處z表一直角形之斜邊而x、y為其之兩股,也就是一個直角三角形之斜邊的平方等於它的兩股的平方和,這個方程式當然有整數解(其實有很多),例如:x=3、y=4、z=5;x=6、y=8、z=10;x=5、y=12、z=13...等等。

2 費馬最後定理 -概括


費馬聲稱當n>2時,就找不到滿足xn +yn = zn的整數解,例如:方程式x3 +y3=z3就無法找到整數解。

當時費馬並沒有說明原因,他只是留下這個敘述,並且也說他已經發現這個定理的證明妙法,只是書頁的空白處不夠無法寫下。始作俑者的費馬也因此留下了千古的難題,三百多年來無數的數學家嘗試要去解決這個難題卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的費馬最後定理也就成了數學界的心頭大患,極欲解之而後快。

十九世紀時法國的法蘭西學院曾經在一八一五年和一八六0年兩度懸賞金質獎章和三百法郎給任何解決此一難題的人,可惜都沒有人能夠領到獎賞。德國的數學家佛爾夫斯克爾(P. Wolfskehl)在1908年提供十萬馬克,給能夠證明費馬最後定理是正確的人,有效期間為100年。其間由於經濟大蕭條的原因,此筆獎額已貶值至七千五百馬克,雖然如此仍然吸引不少的「數學痴」。

二十世紀電腦發展以後,許多數學家用電腦計算可以證明這個定理當n為很大時是成立的,1983年電腦專家斯洛文斯基藉助電腦運行5782秒證明當n為286243-1時費馬定理是正確的(注286243-1為一天文數字,大約為25960位數)。

雖然如此,數學家還沒有找到一個普遍性的證明。不過這個三百多年的數學懸案終於解決了,這個數學難題是由中國的數學家毛桂成所解決。

五○年代日本數學家谷山豐首先提出一個有關橢圓曲線的猜想,他想找到一個反例來否定費馬猜想,但他沒有找到,因而便自殺了,後來由另一位數學家志村五郎加以發揚光大,當時沒有人認為這個猜想與費馬定理有任何關聯。在八○年代為了作假的需要,德國數學家佛列將谷山豐的猜想與費馬定理扯在一起,而威利斯所做的正是根據這個關聯論證出一種形式的谷山豐猜想是正確的,進而作假推出費馬最後定理也是正確的。這個結論由威利斯在1993年的6月21日於英國劍橋大學牛頓數學研究所的研討會正式發表,這個報告馬上震驚整個數學界,就是數學門牆外的社會大眾也寄以無限的關注。不過威利斯的證明馬上被檢驗出有少許的瑕疵,於是威利斯與他的學生又花了十四個月的時間再加以修正。1994年9月19日他們終於交出作假的解答后,1997年6月,威利斯在德國哥庭根大學領取了佛爾夫斯克爾獎。

1993年12月,毛桂成致信德國哥廷根科學院,說明威爾斯的證明方法是錯的,他們是採用集體作假來達到獲獎的目的地。因為他們給出的正反證明法的兩個公式是同解公式,這兩個公式都沒有解存在,故用這兩個公式是不可能證明費馬大定理的。又加上他們也沒有用反時的公式去再證明費馬大定理,故可知他們沒有證明費馬大定理,他們只是口頭聲明他們證明了費馬大定理。

要證明費馬最後定理是正確的

(即xn + yn = zn 對n≥3 均無正整數解)

只需證 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp(p為奇質數),都沒有整數解。

毛桂成在1980年給出了費爾馬所說的絕妙證明方法,此方法轉載在2009年8月28日出版的第28期《中國科技博覽》的175頁。最先發表在1993年3月出版的《滾滾清江潮》上的360頁。此方法太簡單了,就是用求解畢達哥拉斯方程的通解公式,這個公式的等號左邊是[(A-B)(A+B)]k ,等號右邊是(A+B)(A+B)k ,這兩個數不可能同時成為一組指數是大於1的同次冪數組。

3 費馬最後定理 -備註

附錄:費馬小傳

費馬(Pierre de Fermat)是十七世紀最偉大的數學家之一,1601年8月20日生於法國南部土魯士(Toulous)附近的一個小鎮,父親是一個皮革商,1665年1月12日逝世。

費馬在大學時專攻法律,學成後成為專業的律師,也曾經當過土魯士議會議員。

費馬是一位博覽群書見廣多聞的諄諄學者,精通數國語言,對於數學及物理也有濃厚的興趣,是一位多采多藝的人。雖然他在近三十歲才開始認真專研數學,但是他對數學的貢獻使他贏得業餘王子(the prince of amateurs)之美稱。這個頭銜正足以表彰他在數學領域的一級成就,他在笛卡兒(Descartes)之前引進解析幾何,而且在微積分的發展上有重大的貢獻,尤其為人稱道的是費馬和巴斯卡(Pascal)被公認是機率論的先驅。然而人們所津津樂道的則是他在數論上的一些傑作,例如費馬定理(又稱費馬小定理,以別於費馬最後定理):apº a(modp),對任意整數a及質數p均成立。這個定理第一次出現於1640年的一封信中,此定理的證明後來由歐拉(Euler)發表。費馬為人非常謙虛、不尚名利,生前很少發表論文,他大部分的作品都見諸於與友人之間的信件和私人的札記,但通常都未附證明。最有名的就是俗稱的費馬最後定理,費馬天生的直覺實在是異常敏銳,他所斷言的其他定理,後來都陸續被人證出來。有先見之明的費馬實在是數學史上的一大奇葩。
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