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質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中,除了1和此整數自身外,不能被其他自然數整除的數。因為合數是由若干個質數相乘而得來的,所以,沒有質數就沒有合數,由此可見素數在數論中有著很重要的地位。比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。質數是與合數相對立的兩個概念,二者構成了數論當中最基礎的定義之一。基於質數定義的基礎之上而建立的問題有很多世界級的難題,如哥德巴赫猜想等。算術基本定理每一個比1大的數(即每個比1大的正整數)要麼本身是一個素數,要麼可以寫成一系列素數的乘積,如果不考慮這些素數的在乘積中的順序,那麼寫出來的形式是唯一的。這個定理的重要一點是,將1排斥在素數集合以外。如果1被認為是素數,那麼這些嚴格的闡述就不得不加上一些限制條件。

1概念

只有1和它本身兩個正因數的自然數,叫質數(Prime Number)。(如:由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因數只有1和它本身2這兩個約數,所以2就是質數。與之相對立的是合數:「除了1和它本身兩個因數外,還有其它因數的數,叫合數。」如:4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很顯然,4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外,還有因數2,所以4是合數。)
100以內的質數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,在100內共有25個質數。
註:(1)2和3是所有素數中唯一兩個連著的數。
(2)2是唯一一個為偶數[ 雙數]的質數。

2數目

素數數目的計算
儘管整個素數是無窮的,仍然有人會問「100,000以下有多少個素數?」,「一個隨機的100位數多大可能是素數?」。素數定理可以回答此問題。
素數、即質數,是在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數。梅森素數以法國數學家馬蘭.梅森命名,指的是形如2的P次冪減一的素數,而P本身也是素數。迄今為止,數學界共計發現48個梅森素數。中央密蘇里大學上月發現的那一素數為2的57,885,161次冪減一。
哥德巴赫猜想
在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大於2的整數都可寫成三個質數之和。因現今數學界已經不使用「1也是素數」這個約定,原初猜想的現代陳述為:任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大於2的偶數想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和,或是一個素數和一個半素數的和"。 今日常見的猜想陳述為歐拉的版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個素數之和,亦稱為「強哥德巴赫猜想」或「關於偶數的哥德巴赫猜想」。
從關於偶數的哥德巴赫猜想,可推出任一大於7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為「弱哥德巴赫猜想」或「關於奇數的哥德巴赫猜想」。
若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的,則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。若哥德巴赫猜想尚未完全解決,但1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和,也稱為「哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理」或「三素數定理」,數學家認為弱哥德巴赫猜想已基本解決。
孿生質數猜想
1849年,波林那克提出孿生質數猜想(the conjecture of twin primes),即猜測存在無窮多對孿生
猜想中的「孿生」是指一對質數,它們之間相差2。例如3和5,5和7,11和13,10,016,957和10,016,959等等都是孿生質數。
梅森質數
17世紀還有位法國數學家叫梅森,他曾經做過一個猜想:當2^p-1 中的p是質數時,2^p-1是質數。他驗算出:當p=2、3、5、7、17、19時,所得代數式的值都是質數,後來,歐拉證明p=31時,2^p-1是質數。 p=2,3,5,7時,2^p-1都是素數,但p=11時,所得2,047=23×89卻不是素數。
梅森去世250年後,美國數學家科勒證明,2^67-1=193,707,721×761,838,257,287,是一個合數。這是第九個梅森數。20世紀,人們先後證明:第10個梅森數是質數,第11個梅森數是合數。質數排列得雜亂無章,也給人們尋找質數規律造成了困難。
目前最大的已知質數是梅森質數2^57,885,161-1。迄今為止,人類僅發現48個梅森質數。由於這種質數珍奇而迷人,它被人們稱為「數學珍寶」。
中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森質數及其排列,巧妙地運用聯繫觀察法和不完全歸納法,於1992年正式提出了梅森素質分佈的猜想(即周氏猜測)。

3相關定理

算術基本定理
任何一個大於1的自然數N,都可以唯一分解成有限個質數的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這裡P_1<P_2<...<P_n是質數,其諸方冪 ai 是正整數。
這樣的分解稱為N 的標準分解式。
算術基本定理的內容由兩部分構成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考慮排列的順序,正整數分解為素數乘積的方式是唯一的)。
算術基本定理是初等數論中一個基本的定理,也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。
此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環,歐幾里得整環等等概念。 更一般的還有戴德金理想分解定理。
已經被證明的定理
在一個大於1的數a和它的2倍之間(即區間(a, 2a]中)必存在一個素數。
存在任意長度的素數等差數列。(格林和陶哲軒,2004年)
一個偶數可以寫成兩個數字之和,其中每一個數字都最多祇有9個質因數。(挪威數學家布朗,1920年)
一個偶數必定可以寫成一個質數 p 加上一個合成數 c ,其中 c 的因子個數有上界。(瑞尼,1948年)
一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由5個因子所組成的合成數。後來,有人簡稱這結果為 (1 + 5) (中國潘承洞,1968年)
一個充分大偶數必定可以寫成一個素數加上一個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱為 (1 + 2) (中國陳景潤)
發現已知的最大素數
美國中央密蘇里大學數學家柯蒂斯·庫珀領導的研究小組通過參加一個名為「互聯網梅森素數大搜索」(GIMPS)的國際合作項目,於1月25日發現了目前已知的最大素數——2^57885161-1 (即2的57885161次方減1)。該素數是第48個梅森素數,有17425170位;如果用普通字型大小將它連續列印下來,其長度可超過65公里!美國數學學會發言人邁克·布林宣稱:這是數論研究的一項重大突破。
研究小組在大約1000台大學里的計算機上運行GIMPS的軟體,每台計算機都不間斷地用了39天時間證明2^57885161-1是個素數。之後其他研究者也獨立驗證了這一結果。近年來,庫珀通過參加GIMPS項目一共發現了3個梅森素數。
尋找梅森素數已成為發現已知最大素數的最有效途徑。如今世界上有180多個國家和地區近28萬人參加了GIMPS項目,並動用超過79萬台計算機聯網來尋找新的梅森素數。梅森素數是否有無窮多個?這是一個尚未破解的著名數學謎題。
解開「弱哥德巴赫猜想」
5月13日,秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師範學院宣稱:證明了一個「弱哥德巴赫猜想」,即「任何一個大於7的奇數都能被表示成3個奇素數之和」。他將論文投稿給全球最大的預印本網站(arXiv);有專家認為這是哥德巴赫猜想研究的一項重大成果。不過,其證明是否成立,還有待進一步考證。
赫爾弗戈特在論證技術上主要使用了哈代-李特爾伍德-維諾格拉多夫圓法。在這一圓法中,數學家創建了一個周期函數,其範圍包括所有素數。1923年,哈代和李特爾伍德證明,假設廣義黎曼猜想成立,三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的;1937年,蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫更進一步,在無須廣義黎曼猜想的情形下,直接證明了充分大的奇數可以表示為3個素數之和。
英國數學家安德魯·格蘭維爾稱,不幸的是,由於技術原因,赫爾弗戈特的方法很難證明「強哥德巴赫猜想」,即「關於偶數的哥德巴赫猜想」。如今數學界的主流意見認為:要證明強哥德巴赫猜想,還需要新的思路和工具,或者在現有的方法上進行重大的改進
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