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1內容

mass-energy relation
質量與能量之間的當量關係。在經典物理學中,質量和能量是兩個完全不同的概念,它們之間沒有確定的當量關係,一定質量的物體可以具有不同的能量;能量概念也比較局限,力學中有動能、勢能等。在狹義相對論中,能量概念有了推廣,質量和能量有確定的當量關係,物體的質量為m,則相應的能量為 E=mc^2,相應於能量為E的物體質量為m=E/c^2 ;特別是靜止的物體,靜質量為m0,具有的能量為E0=m0c^2。質能關係是狹義相對論的最重要的結果。質能關係將物理學中原來不相干的質量守恆和能量守恆統一起來。在通常的反應中,系統釋放出能量,系統內部的質量減小,減小的量是微乎其微的,與其靜質量相比小得無法觀測。但在核反應中,這一減小量則明顯地表現出來。在裂變反應和聚變反應中,系統的靜質量可觀地改變,反應釋放巨大能量。質能關係是核能釋放的理論基礎。

2推導

在狹義相對論中,動能定理和動量定理是仍然成立的。考慮一個物體受到一個定向的力F的作用,由靜止加速到速度u,把這個方向定為x方向,則物體獲得的能量為
ΔE=∫Fdx=∫(dp/dt)dx=∫dp(dx/dt)=∫udp=∫ud(mu)
(註:積分上下限為從速度為0的狀態積到速度為u的狀態)
利用分部積分,得
∫ud(mu)=Δ(mu^2)-∫mudu
由質速關係
m=γm0[註:γ為洛倫茲因子,γ=(1-u^2/c^2)^(-1/2)]
以及物體最初速度為0,故
Δ(mu^2)=mu^2
於是
ΔE=mu^2-m0∫γudu
通過查閱積分表,可知
∫γudu=c^2(1-1/γ)
代入前一個式子,可得
ΔE=mu^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0u^2+m0c^2/γ-m0c^2=γm0c^2-m0c^2
=mc^2-m0c^2
也就是說,將一個物體從靜止加速到速度u,物體得到了(mc^2-m0c^2)的能量。再加上物體原有的靜能m0c^2,便得到了質能關係
E=mc^2
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