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赫爾德不等式

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赫爾德不等式是數學分析的一條不等式,取名自奧圖·赫爾德(OttoHölder)。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式。

1 赫爾德不等式 -赫爾德不等式


2 赫爾德不等式 -正文

分析數學中常用到下列 赫爾德不等式  

楊不等式  設ƒ(x)是定義在【0, A】上滿足ƒ(0)=0的嚴格單調增加的連續函數,ƒ-1(y)是ƒ(x)的反函數,則對任何 
α∈【0,A】,b∈【0,ƒ(A)】,

有當且僅當ƒ(α)=b時,上式中等號成立(見圖)
赫爾德不等式赫爾德不等式
 。 
特別,當ƒ(x)=xα(α>0)時,令 


由楊不等式得到 


當且僅當b=αp-1時,上式中等號成立。 
赫爾德不等式  設(X,φ,μ)是測度空間(見測度論),E ∈φ,ƒ(x)、g(x)分別在 E上p 次、q次可積,則 ƒ(x)g(x)在E上可積,並且 

上式中等號成立當且僅當存在實數θ以及不全為零的實數с1和с2,使得等式 
argƒ(x)g(x)=θ , с1|ƒ(x)|p=с2|g(x)|q

在E上幾乎處處成立。 
由積分的赫爾德不等式立即可得級數的赫爾德不等式:設 


式中p>1,q>1 ,則絕對收斂,並且 
上式中等號成立當且僅當存在實數θ 以及不全為零的非負實數 с1 和 с2,使對一切自然數 n,argαnbn=θ,且 
施瓦茲不等式  赫爾德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情況,此時的赫爾德不等式稱為施瓦茲不等式,有時也稱為柯西不等式或布尼亞科夫斯基不等式。它的積分形式、級數形式分別為 


上面兩式中等號成立的充要條件分別是存在兩個不全為零的常數с1和с2,使得 
с1ƒ(x)=с2g(x)

在E上幾乎處處成立和對一切自然數n,с1αn=с2bn。 
閔科夫斯基不等式  設(X,φ,μ是測度空間,E∈φ,ƒ(x),g(x)都是E上p次(p≥1)可積函數,則ƒ(x)+g(x)在E上p次可積,並且  


當p>1時,上式中等號成立的充要條件是存在不全為零的非負實數с1和с2,使得 
с1ƒ(x)=с2g(x)

在E上幾乎處處成立;當p=1時,上式中等號成立的充要條件是,argƒ(x)=argg(x)在E上幾乎處處成立。 
由積分的閔科夫斯基不等式,可得級數的閔科夫斯基不等式:如果,p≥1,則 


當p>1時,上式中等號成立當且僅當存在不全為零的非負實數с1和с2,使對一切自然數n,с1αn=с2bn;當p=1時,上式中等號成立當且僅當對一切自然數n,argαn=argbn。 
延森不等式 設φ(x)是【α,b】上有限實函數,如果對任何x1,x2∈【α,b】以及任何正數p1、p2,都有 


則稱φ為【α,b】上的下凸函數。如果φ(x)是【α,b】上的下凸函數,則對任何x1,x2,…,xn∈【α,b】以及任何正數p1,p2,…,pn,有延森不等式: 

積分形式的延森不等式:設φ(x)是【α,b】上的下凸函數,又設(X,φ,μ)是測度空間,E∈φ,p(x)是E上非負可積函數,並且,而ƒ(x)是E上可測函數,並且α≤ƒ(x)≤b,則 

3 赫爾德不等式 -配圖

4 赫爾德不等式 -相關連接

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