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超實數(surreal numbers)是一個包含實數以及無窮大和無窮小數的域,它們的絕對值分別大於和小於任何正實數。把構造限制於Grothendieck宇宙,可以得到一個集合而不是一個類,這樣就有一個有強不可及基數的真正的域。
超實數的定義和構造歸功於John Conway,這顯示了Conway的有特色的才智和首創性。它們在Donald Knuth1974年的書Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness(超實數:兩個以前的學生如何喜歡上純數學並發現完全的幸福中有介紹。該書是一本數學小說,作為少見的新數學思想在小說中初次出現的一例而著稱。該書採用對話形式,在他的書中,Knuth創造了超實數一詞,Conway起先直接稱為數。Conway喜歡這個新名字,後來自己也採用了這個詞。然後Conway在他1976年的書關於數和博弈(On Numbers and Games)中描述超實數並將之用於分析博弈。
康韋說:「假定有兩條規則,他們產生一切大小的數。第一條規則應是:每個數對應於先前創造的數所構成的兩個集,使得左集的元中沒有一個大於或等於右集的任意元。而第二條規則應是:一個數小於或等於另一個數,當且僅當第一個數的左集沒有任何元大於或等於第二個數,而第二個數的右集沒有任何元小於或等於第一個數。」康韋還檢驗了它所制定的這兩條規則,你瞧!它們很好。
根據這種方法,可以給出1和-1:
1=﹛øl0﹜     -1=﹛0lø﹜
正數N:  ﹛Nlø﹜=N+1
而對於負數,則有:   -N—1=﹛øl-N﹜
對於無窮大,則有:  inf=﹛0,1,2,3,…lø﹜,接著把inf放入右邊的位置,於是我們得到無窮大減去一的一個獨特定義:一個小於無窮大的無限數!    inf—1=﹛0,1,2,3,…linf﹜
還有:1/inf=﹛0l1/2,1/4,1/8,1/16,…﹜這些獨特的量中的無論哪個,以前的數學家都未曾定義過。
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