標籤:高等數學實數代數數劉維爾

超越數的存在是由法國數學家劉維爾(Joseph Liouville,1809—1882)在1844年最早證明的。關於超越數的存在,劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數:a=0.110001000000000000000001000…,並且證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程,由此證明了它不是一個代數數,而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數,所以把數a稱為劉維爾數。

1簡介

超越數的存在是由法國數學家劉維爾(Joseph Liouville,1809—1882)在1844年最早證明的。關於超越數的存在,劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數:a=0.11000100…,並且證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程,由此證明了它不是一個代數數,而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數,所以把數a稱為劉維爾數。
歷史
劉維爾數證明后,許多數學家都致力於對超越數的研究。1873年,法國數學家埃爾米特(Charles Hermite,1822—1901)又證明了自然對數底e的超越性,從而使人們對超越數的認識更為清楚。1882年,德國數學家林德曼證明了圓周率也是一個超越數(完全否定了「化圓為方」作圖的可能性)。
在研究超越數的過程中,萊昂哈德·歐拉曾提出猜想:a是不等於0和1的代數數,b是無理代數數,則a^b是超越數。
這個猜想已被證明.於是可以斷定e,π是超越數.

2超越數

transcendental number
實數中除代數數以外的數,亦即不滿足任一個整係數代數方程
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0
(n為正整數,
a_n
≠0)的數。理論上證明超越數的存在並不難,而且可知超越數是大量的。但要構造一個超越數或論證某個數是超越數就極為困難。現今只有少量的數如π,e,等的超越性得到了證明,對其他一些有興趣的數的超越性的研究是數學家十分關注的事。
超越數e
在中學數學書中這樣提出:以e為底的對數叫做自然對數。那麼e到底有什麼實際意義呢?
1844年,法國數學家劉維爾最先推測e是超越數,一直到了1873年才由法國數學家埃爾米特證明e是超越數。
1727年,歐拉最先用e作為數學符號使用,後來經過一個時期人們又確定用e作為自然對數的底來紀念他。有趣的是,e正好是歐拉名字第一個小寫字母,是有意的還是偶然巧合?現已無法考證!
e在自然科學中的應用並不亞於π值。像原子物理和地質學中考察放射性物質的衰變規律或考察地球年齡時便要用到e。
在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時也會用到e,在計算儲蓄最優利息及生物繁殖問題時,也要用到e。
同π一樣,e也會在意想不到的地方出現,例如:「將一個數分成若干等份,要使各等份乘積最大,怎麼分?」要解決這個問題便要同e打交道。答案是:使等分的各份儘可能接近e值。如,把10分成10÷e≈3.7份,但3.7份不好分,所以分成4份,每份為10÷4=2.5,這時2.5^4=39.0625乘積最大,如分成3或5份,乘積都小於39。e就是這樣神奇的出現了。
1792年,15歲的高斯發現了素數定理:「從1到任何自然數N之間所含素數的百分比,近似等於N的自然對數的倒數;N越大,這個規律越準確。」這個定理到1896年才由法國數學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數學家布散所證明。以e為底還有很多優越性。如以e為底編製對數表最好;微積分公式也具有最簡的形式。這是因為只有e^x導數就是其自身,即d/dx(e^x)=e^x。

意義

超越數的證明,給數學帶來了大的變革,解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題,即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。

3各種形式

π和e的無窮級數形式
有趣的是,π和e可以用無窮級數表示:
π=4×(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…)=4×∑[(-1)^n/(1+2n)],n∈N
π/2=2/1×2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9×…
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9… (-1)/2n-1+…, n∈N
e=1/ (0!)+1/ (1!)+1/ (2!)+1/ (3!)+1/ (4!)+1/ (5!)+…=∑1/ (n!), n∈N
π的反正切函數形式
除了無窮級數形式,π還可以用反正切函數表示:
π=16arctan1/5-4arctan1/239
π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239
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