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超限數是大於所有有限數、仍不必定絕對無限的基數或序數。簡單來說就是代表實無窮的數。術語「超限」(transfinite)是康托爾提出的,他希望避免詞語無限(infinite)和那些只不過不是有限(finite)的那些對象有關的某些暗含。對於有限數,有兩種方式考慮超限數,作為基數和作為序數。不象有限基數和序數,超限基數和超限序數定義了不同類別的數。
最小超限序數是ω。 第一個超限基數,也是最小的超限數,我們稱之為「אi0」(讀Aleph-Null 即阿列夫零),其中「א是希伯萊文的第一個字母。整數的無限集合的勢。如果選擇公理成立,下一個更高的基數是 aleph-1 。如果不成立,則有很多不可比較於 aleph-1 並大於 aleph-0 的其他基數。但是在任何情況下,沒有基數大於 aleph-0 並小於 aleph-1。 自然數集的元素數目(可數無窮,Countable Infinity),從集合論中可知道,任何集合的冪集(Power Set)的基數都必比原本的集合的基數大,所以自然數集的冪集的基數必定是一個超限數,而且比אi0更大。
連續統假設聲稱在 aleph-0 和連續統(實數的集合)的勢之間沒有中間基數: 就是說,aleph-1 是實數集合的勢。已經在數學上證實了連續統假設不能被證明為真或假,由於不完備性的影響。
某些作者,比如 Suppes、Rubin 使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢,在可以不等於無限基數的上下文中;就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。給定這個定義,下列是等價的:
是超限基數。就是說有一個戴德金無限集合A使得A 的勢是 。 。 。 有一個基數 使得 。
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