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迭代法也稱輾轉法,是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程,跟迭代法相對應的是直接法(或者稱為一次解法),即一次性解決問題。

1 迭代法 -迭代法

 

2 迭代法 -正文

  一類利用遞推公式或循環演算法構造序列求問題近似解的方法。例如利用關係式迭代法,從x0開始依次計算x1,x2,…來逼近方程xƒ(x)的根x迭代法的方法和由關係式迭代法近似求解線性代數方程Ax=b的方法都是迭代法。一般,利用遞推關係式  

迭代法

構造序列{xk}逼近所論問題解x迭代法的方法稱為迭代法,Ψk稱為迭代運算元或迭代函數,{xk}為迭代序列。若xk存在極限迭代法,則稱迭代序列收斂。若存在1≤p<迭代法以及正的常數Cp使

迭代法

則稱迭代序列對於x迭代法具有p階收斂速度或者說是p階收斂的。如果對所有由迭代函數Ψk產生的收斂於x迭代法的迭代序列{xk},上式均成立,則稱此迭代法對於x迭代法p階收斂的。
  對確定的正整數m,迭代演算法

迭代法

稱為m步迭代法,當m=1,稱為單步迭代法或逐步逼近法,它是最常用的迭代演算法。用m步迭代法計算時,需給定m個初始近似x0,x-1,…,x-m+1。若Ψkk無關,稱之為定常迭代法。所有定常迭代法均可化成這種形式。當單步定常迭代法迭代法收斂於x迭代法時,則x迭代法為方程組x=Ψ(x)的解。
  迭代法研究的主要課題是對所論問題構造收斂的迭代演算法,分析它們的收斂速度及收斂範圍。迭代法的收斂性定理可分成下列三類:①局部收斂性定理:假定問題解存在,斷定當初始近似與解充分接近時迭代法收斂;②半局部收斂性定理:在不假定解存在的情況下,根據迭代法在初始近似處滿足的條件,斷定迭代法收斂於問題的解;③大範圍收斂性定理:在不假定初始近似與解充分接近的條件下,斷定迭代法收斂於問題的解。
  對於單步定常迭代法有以下基本收斂性定理:
  定理1 設在解x迭代法的鄰域內,Ψ(x)連續可微,Ψ(x迭代法)的譜半徑小於1,則當初始近似x0與x迭代法充分接近時,單步定常迭代法對於x迭代法收斂。
  定理2 設於區域S={x|‖x-x0‖≤r}內Ψ(x)滿足條件:‖Ψ(x)-Ψ(у)‖≤q‖x-у‖,凬x,у∈S,且‖x0-Ψ(x0)‖≤(1-q)r,其中0<q<1,則x=Ψ(x)在S中存在惟一解x迭代法,單步定常迭代法對於x迭代法收斂,並有估計式迭代法
  迭代法在線性和非線性方程組求解、最優化計算以及特徵值計算等問題中廣泛應用。

 

3 迭代法 -配圖

 

4 迭代法 -相關連接

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