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1概念

連續統是一個數學概念。當人們籠統地說:「在實數集里實數可以連續變動」,也就可以說實數集是個連續統;更嚴格的描述需要使用序理論、拓撲學等數學工具。這裡的連續是相對於離散的概念而言的。在不討論精確的定義前,有時人們也會談到一個量可以在某範圍內連續取值,或者說該量的變化範圍是一個連續統。在數學上,連續統這一術語至少有兩種精確定義,但並不等價。另外,連續統一詞有時即指實數線或者實數集,這是較舊的叫法;見連續統假設。
連續統在數序中的定義:與區間(0,1)對等的集合就叫做連續統,什麼叫做對等呢,就是找到一個映射,使得他們之間的元素滿足一一映射。

2有序集

在集合論中,連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集,而且其序滿足如下性質(具此性質的序稱為「稠密無洞」的):
稠密:在任意兩個元素之間存在第三個元素 無洞:有上界的非空子集一定有上確界 實數集即為連續統的例子;實際上它是連續統的原型。以下是連續統的幾個例子:
序結構與實數集同構(序同構)的集合,例如實數集里的任何開區間 擴展的實數軸,以及序同構於它的,比如單位區間。 實的半開半閉區間如 (0,1] 等,以及其序同構。 拓撲學中有一種比實數線還要長的「長線」(en:long_line) 非標準分析中的超實數集

3連續統的基數

康托的連續統假設有時會被敘述成「在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基數」,這裡的「連續統」指的是實數集;連續統的基數即特指實數集的基數。

4拓撲學

在點集拓撲學中,一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間(或者非空的緊緻連通豪斯多夫空間,但較少用)。
按照以上定義,一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統;由連通性和豪斯多夫性質,可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性:
是否存在這樣的連續統C,它可以寫成兩個連續統的並集,且這兩個都是C 的真子集? 答案是肯定的,第一個例子由魯伊茲·布勞威爾給出。
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