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1874年格奧爾格·康托爾猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數,這就是著名的連續統假設。它又被稱為希爾伯特第一問題,在1900年第二屆國際數學家大會上,大衛·希爾伯特把康托爾的連續統假設列入20世紀有待解決的23個重要數學問題之首。1938年哥德爾證明了連續統假設和世界公認的ZFC公理系統不矛盾。1963年美國數學家科亨證明連續假設和ZFC公理系統是彼此獨立的。因此,連續統假設不能在ZFC公理系統內證明其正確性與否。

1概念

連續統假設(continuum hypothesis),數學上關於連續統勢的假設。常記作CH。
該假設是說,無窮集合中,除了整數集的基數,實數集的基數是最小的

2問題的提出

通常稱實數集即直線上點的集合為連續統,而把連續統的勢(大小)記作C1。
2000多年來,人們一直認為任意兩個無窮集都一樣大。直到1891年,G.康托爾證明:任何一個集合的冪集(即它的一切子集構成的集合)的勢都大於這個集合的勢,人們才認識到無窮集合也可以比較大小。
自然數集是最小的無窮集合,自然數集的勢記作阿列夫零。康托爾證明連續統勢等於自然數集的冪集的勢。是否存在一個無窮集合,它的勢比自然數集的勢大,比連續統勢小?這個問題被稱為連續統問題。
康托爾猜想這個問題的解答是否定的,即連續統勢是比自然數集的勢大的勢中最小的一個無窮勢,記作C1;自然數集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續統假設。

3問題已有的解決

1938年,K.哥德爾證明了CH對ZFC公理系統(見公理集合論)是協調的,1963年,P.J.科恩證明CH對ZFC公理系統是獨立的,是不可能判定真假的。這樣,在ZFC公理系統中,CH是不可能判定真假的。這是60年代集合論的最大進展之一。然而到了21世紀,前人的結論又開始被動搖了。
康托爾證明連續統的基數等於自然數集冪集的基數,並把它記作2^ℵ0(其中ℵ0讀作阿列夫零)。康托爾還把無窮基數按照從小到大的次序排列為ℵ0,ℵ1,…ℵa……其中a為任意序數,康托爾猜想,2^ℵ0=ℵ1。這就是著名的連續統假設(簡記CH)。一般來說,對任意序數a,斷定2^ℵa=ℵ(a+1)成立,就稱為廣義連續統假設(簡記GCH)。在ZF中,CH和選擇公理(簡記AC)是互相獨立的,但是由GCH可以推出AC。ZF加上可構造性公理(簡記V=L)就可以推出GCH,當然也能推出CH和AC。
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