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連通性,是點集拓撲學中的基本概念。

1 連通性 -定義

  連通性是點集拓撲學中的基本概念。

  其定義如下:

  稱拓撲空間X為連通的,若X中除了空集和X本身外沒有別的既開又閉子集。

  拓撲空間X的子集E稱為連通的,若E作為X的子空間在誘導拓撲下是連通的。等價描述

  1. 稱拓撲空間X連通,若X不能表示成兩個非空不交開集的並。

  2. 稱拓撲空間X連通,若當它分成兩個非空子集的並A∪B時,有A交B的閉包非空,或B交A的閉包非空。

  3.稱拓撲空間X連通,若X內即開又閉的子集只有X與空集。

2 連通性 -性質

  【連通的性質】

  1. 實數集的子集是連通的,當且僅當它是一個區間

  2. 連通性由同胚保持,從而是空間的拓撲性質

  3. 設Ω是X的一族子集,它們的並是整個空間X,每個Ω中的成員連通,且兩兩不分離(即任意兩個集合的閉包有非空交),則X連通

  4. 若X,Y連通,則乘積空間X×Y連通

3 連通性 -其他相關概念

  1. 道路連通:

  稱X為道路連通的,若任取X中的兩點x,y,有連接x,y的道路

  2. 局部道路連通

  稱X為局部道路連通的,若對任意X中的點x,x的任一領域U包含x的一個道路連通鄰域V

  3. 局部連通

  稱X為局部連通的,若對任意X中的點x,x的任一領域U包含x的一個連通鄰域V

  道路連通空間一定是連通的,反之不然。

  道路連通與局部道路連通之間沒有必然聯繫。

  連通與局部連通之間沒有必然聯繫。

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