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從幾何的角度(指不涉及物體本身的物理性質和加在物體上的力) 描述和研究物體位置隨時間的變化規律的力學分支。以研究質點和剛體這兩個簡化模型的運動為基礎,並進一步研究變形體(彈性體、流體等)的運動。研究後者的運動,須把變形體中微團的剛性位移和應變分開。點的運動學研究點的運動方程、軌跡、位移、速度、加速度等運動特徵,這些都隨所選參考系的不同而異;而剛體運動學還要研究剛體本身的轉動過程、角速度、角加速度等更複雜些的運動特徵。剛體運動按運動的特性又可分為平動、繞定軸轉動、平面平行運動、繞定點轉動和一般運動。運動學為動力學、機械學提供理論基礎,也是自然科學和工程技術必需的基礎知識。運動學是理論力學的一個分支學科,它是運用幾何學的方法來研究物體的運動,通常不考慮力和質量等因素的影響。至於物體的運動和力的關係,則是動力學的研究課題。

1 運動學 -簡介

運動學是理論力學的一個分支學科,它是運用幾何學的方法來研究物體的運動,通常不考慮力和質量等因素的影響。至於物體的運動和力的關係,則是動力學的研究課題。

用幾何方法描述物體的運動必須確定一個參照系,因此,單純從運動學的觀點看,對任何運動的描述都是相對

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的。這裡,運動的相對性是指經典力學範疇內的,即在不同的參照系中時間和空間的量度相同,和參照系的運動無關。不過當物體的速度接近光速時,時間和空間的量度就同參照系有關了。這裡的「運動」指機械運動,即物體位置的改變;所謂「從幾何的角度」是指不涉及物體本身的物理性質(如質量等)和加在物體上的力。

運動學主要研究點和剛體的運動規律。點是指沒有大小和質量、在空間佔據一定位置的幾何點。剛體是沒有質量、不變形、但有一定形狀、佔據空間一定位置的形體。運動學包括點的運動學和剛體運動學兩部分。掌握了這兩類運動,才可能進一步研究變形體(彈性體、流體等)的運動。

在變形體研究中,須把物體中微團的剛性位移和應變分開。點的運動學研究點的運動方程、軌跡、位移、速度、加速度等運動特徵,這些都隨所選的參考系不同而異;而剛體運動學還要研究剛體本身的轉動過程、角速度、角加速度等更複雜些的運動特徵。剛體運動按運動的特性又可分為:剛體的平動、剛體定軸轉動、剛體平面運動、剛體定點轉動和剛體一般運動。

運動學為動力學、機械原理(機械學)提供理論基礎,也包含有自然科學和工程技術很多學科所必需的基本知識。

2 運動學 -發展歷史

運動學在發展的初期,從屬於動力學,隨著動力學而發展。古代,人們通過對地

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面物體和天體運動的觀察,逐漸形成了物體在空間中位置的變化和時間的概念。中國戰國時期在《墨經》中已有關於運動和時間先後的描述。亞里士多德在《物理學》中討論了落體運動和圓運動,已有了速度的概念。

伽利略發現了等加速直線運動中,距離與時間二次方成正比的規律,建立了加速度的概念。在對彈射體運動的研究中,他得出拋物線軌跡,並建立了運動(或速度)合成的平行四邊形法則,伽利略為點的運動學奠定了基礎。在此基礎上,惠更斯在對擺的運動和牛頓在對天體運動的研究中,各自獨立地提出了離心力的概念,從而發現了向心加速度與速度的二次方成正比、同半徑成反比的規律。

18世紀後期,由於天文學、造船業和機械業的發展和需要,歐拉用幾何方法系統地研究了剛體的定軸轉動和剛體的定點運動問題,提出了後人用他的姓氏命名的歐拉角的概念,建立了歐拉運動學方程和剛體有限轉動位移定理,並由此得到剛體瞬時轉

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動軸和瞬時角速度矢量的概念,深刻地揭示了這種複雜運動形式的基本運動特徵。所以歐拉可稱為剛體運動學的奠基人。

此後,拉格朗日和漢密爾頓分別引入了廣義坐標、廣義速度和廣義動量,為在多維位形空間和相空間中用幾何方法描述多自由度質點系統的運動開闢了新的途徑,促進了分析動力學的發展。

19世紀末以來,為了適應不同生產需要、完成不同動作的各種機器相繼出現並廣泛使用,於是,機構學應運而生。機構學的任務是分析機構的運動規律,根據需要實現的運動設計新的機構和進行機構的綜合。現代儀器和自動化技術的發展又促進機構學的進一步發展,提出了各種平面和空間機構運動分析和綜合的問題,作為機構學的理論基礎,運動學已逐漸脫離動力學而成為經典力學中一個獨立的分支。

3 運動學 -流體運動學

研究流體運動的幾何性質,而不涉及力的具體作用的流體力學分支。

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流動的分析描述描寫流體運動的方法有兩種,即拉格朗日方法和歐拉方法。拉格朗日方法著眼於流體質點,設法描述每個流體質點的位置隨時間變化的規律。通常利用初始時刻流體質點的直角坐標或曲線坐標a、b、c作為區分不同流體質點的標誌。流體質點的運動規律可表示為r=r(a、b、c、t),其中r是流體質點的矢徑;t為時間;a、b、c、t統稱為拉格朗日變數。歐拉方法著眼於空間點,設法在空間每一點上描述流體運動隨時間的變化狀況。流體質點的運動規律可用速度矢量v=v(r、t)表示,其中r、t稱為歐拉變數。人們廣泛採用歐拉方法,較少採用拉格朗日方法,因為用歐拉變數確定的速度函數是定義在時間和空間點上,所以是速度場,稱為流場,可運用場論知識求解;其次,在歐拉方法中,由於加速度是一階導數,所以運動方程組是一階偏微分方程組,比拉格朗日方法中的二階偏微分方程組容易處理。

流動的幾何描述流體質點在空間運動時所描繪的曲線稱為跡線;在流場中每一點上都與速度矢量相切的曲線稱為流線。跡線是同一流體質點在不同時刻形成的曲線,它是在拉格朗日方法中流體質點運動規律的幾何表示;流線是同一時刻不同流體質點所組成的曲線,它是在歐拉方法中流體質點運動規律的幾何表示。只有在定常運動中,兩者才重合在一起。

流動分析流體運動比剛體運動複雜,它除了平動和轉動外,還要發生變形。亥姆霍茲速度分解定理指出,流體微團的運動可以分解為平動、轉動和變形3部分之和(見機械運動)。流體速度分解定理同剛體速度分解定理的重要區別為:①流體微團運動比剛體的多了變形速度部分;②剛體速度分解定理對整個剛體成立,因此是整體性定理,而流體速度分解定理只在流體微團內成立,因此是局部性的定理。

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流動分類從運動形式角度,流體運動可分為無旋運動和有旋運動。從時間角度,可分為定常運動(所有物理量不隨時間而變)和非定常運動。從空間角度,根據有關物理量依賴於1個、2個和3個坐標,流體運動可分為一維、二維和三維運動。平面運動和軸對稱運動是二維運動的兩個重要例子。

旋渦的運動學性質在有旋運動中,處處與旋渦矢量相切的曲線稱為渦線。渦線上各流體微團繞渦線的切線方向旋轉。在旋渦場內取一非渦線且不自相交的封閉曲線,通過它的所有渦線構成一管狀曲面,稱為渦管。渦管的運動學性質為:渦通量在渦管所有橫截面上都等於同一常數,稱為渦管強度。渦管不能在流體內產生或終止,如果它不以渦環的形式存在,就只能延伸到邊界上。

連續性方程流體質量守恆定律的數學表達式。設在流場中任取一體積為τ的流體,τ的周界面為σ,從質量守恆定律得出:τ內流體質量的增加率等於單位時間內通過界面σ流出的流體質量。

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