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「選擇公理」有很多等價的形式(equivalent form),以下用一個較簡單的描述: 選擇公理 設C為一個由非空集合所組成的集合。那麼,我們可以從每一個在C中的集合中,都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。

1概述

簡單描述
「選擇公理」有很多等價的形式(equivalent form),以下用一個較簡單的描述:
選擇公理 設C為一個由非空集合所組成的集合。那麼,我們可以從每一個在C中的集合中,都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。

2舉例說明

為令讀者有進一步的了解,以下是一些例子:
較實在的例子
看來也算是合理,但以上的例可能較數學化、較難理解,現在再用個較實在的例子,
3a. 如果在前面放了放置了幾堆蘋果。那麼,我們可以在每堆中選取一個蘋果,再把它們放在新的一堆內。
看了這個例子,可能令你更加明白,不過要留意的是所謂「幾堆」,可能是無限堆,而每堆蘋果也可能是有無限個的,那麼,可以換成
3b. 如果在前面放了放置了無限堆蘋果,而每堆蘋果也有無限個。那麼,我們可以在每堆中選取一個蘋果,再把它們放在新的一堆內。
這個便是「選擇公理」。看來也很合理,既然每一堆也是有蘋果的,當然可以在每一堆中選擇一個蘋果出來,不論每堆的蘋果數目的多少,和堆數的多少,「應該」也能做到。
但在這堆蘋果中,究竟選擇那一個呢?或許有人會說:「隨便一個便可!」但什麼是「隨便」呢?可否具體點陳述出來呢?這個「隨便」的方法是否必然存在呢?
如果數學化點看問題,根據「選擇公理」,
2b. 如果C為所有長度非零的實數區間,那麼,我們可以定義一個新集合,使得它的元素為每一個C中的區間中的點和所在區間配成的有序對。
如果仔細的看2b,「每一個C中的區間中的點」,哪一點呢?最大的那一點?最小的那一點?中間的那一點?通通也不存在,因為「長度非零的實數區間」是包括了長度無限的區間,那便可能沒有了所謂「最大」、「最小」或「中間」等概念。那麼,如何具體地陳述出方法呢?這個方法會不會不存在呢?
這個問題可能還是可以回答的,只是要複雜一些,將集合分為3類:有限的取中間點,一面無限的取另一面的邊界+1或-1,而(-∞,+∞)中取0。
嘗試證明
但「選擇公理」當然不是這般簡單,它的不可思議,它的奇妙用法,以及它所導致的結果,到現在才是開始。
要證明選擇公理,並非一件容易的事,其中一個原因是選擇公理不單是一條簡單的數學命題,而是牽涉較基層的數學──集合論。而集合論正就是數學的基礎理論,所以在證明時,工具也會較少。
不少的數學家也曾嘗試證明選擇公理,他們希望用最基本的工具來作證明,但往往在這些證明中,都用了一些並不基本的理論,例如:「良序定理」(Well-ordering Theorem)及「佐恩引理」(Zorn's Lemma),
良序定理
所有集合能被良序化。換句話說,對每一個集合來說,都存在一種排序方法,使得它的所有子集都有極小元素。
佐恩引理 
若一偏序集是歸納序集,那麼,它必然存在最大元素。換句話說,如果在一個偏序集的每一條鏈在原來的偏序集中都存在著上界,這偏序集必存在最大元素。
爭論
由此可知,要在數學上證明或否證「選擇公理」並非易事,所以數學家便轉移目標,從邏輯系統中看看它的相容性。而事實上,經證明所得,現在我們常用的ZF公理系統與「選擇公理」是相容的,也就是說用ZF公理系統不能得出「選擇公理」的邏輯矛盾。如果我們選擇接納「選擇公理」,則便有一套包含「選擇公理」的公理系統,一般稱「ZFC公理系統」;否則,便不接納它在公理系統之內,在能把它證明之前,也不能接受它是一「定理」。
不過,這個爭論依然未完,因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題,如果放棄這條公理,有很多美好且乎合「常理」的結果會同時被放棄;但它實際上又與很多「常理」大不協調。
其中一個為人熟識的不合乎常理的結果是「巴拿赫─塔斯基悖論」(Banach-Tarski Paradox),或稱「分球問題」。這個悖論可以說是違反了物理學定律,因為這個悖論說可以把一個單位球體(半徑為1)分成有限個點集(最少可分成五份),然後通過一些剛體運動,即旋轉和平移,再重新組合,不過在組合后,竟然成為兩個單位球體,也即是體積增加了一倍,而這個悖論的證明是必須利用到「選擇公理」的。也就是說,如果我們選擇接納「選擇公理」,則「巴拿赫─塔斯基悖論」便是一條定理,但現實中有這個可能嗎?
這其實也是牽涉另一個數學概念──可測集合(Measurable Set)。「巴拿赫─塔斯基悖論」便是存在不可測集合的結果。如果我們接納「選擇公理」,則我們必須接納不可測集合。若我們不接納「選擇公理」,則可設所有集合皆是「勒貝格可測的」(Lebesgue Measurable),而這個假設也可能是較合乎常理。
但是,如果放棄選擇公理,也會有一些很不合常理的情況出現。這些情況取決於選定的不符合選擇公理的模型。如在Cohen模型中,存在一個函數,它在一點x0處是不連續的,但對於任何極限為x0的數列{an},{bn=f(an)}的極限都是f(x0)。換句話說,用任何逼近x0的數列時,函數值都能逼近f(x0),而這恰恰是「連續性」的體現。有些模型更是否定「二元可數選擇公理」(可數個二元集合上選擇公理成立),而這條公理等價於「可數個不交二元集的並集可數」!

沒有結論

總而言之,「選擇公理」是一條十分爭議性的命題,一般的數學家都接受這條公理,因為可以從而得出很多有用的結果,反正使用這公理是沒有邏輯矛盾的。但對於邏輯家或集合論家來說,這是一個必須解決的問題,有些人會建議用較弱的「可數選擇公理」(Countable Choice)來代替,而確實有很多結果是可以利用可數選擇公理來證明的,不過這樣只是暫時迴避問題,而且依然有些結果是必須用到「選擇公理」的。
著名哲學家兼數學家羅素(Bertrand Russell)曾說過:「由無限雙襪子中,每雙選擇一隻出來的話,我們需要『選擇公理』,但如果換成是鞋的話,那便不必了。」因為鞋是可以分左右的,襪子則兩隻沒什麼分別,不知如何選擇。另外,如果只有有限雙襪子,在邏輯上是可以不用「選擇公理」的。
邦拿(Jerry Bona)也曾說過:「『選擇公理』明顯是正確的;『良序原理』明顯是不正確的;『佐恩引理』又有誰可決定呢?」這雖然是一個笑話,但從此可知道人的直覺並不一定跟從數學的思維。在數學上,這三個命題是等價的,但對於「選擇公理」,很多數學家都直覺它是正確的;對於「良序原理」,很多數學家都認為存在問題;「佐恩引理」則複雜得很多數學家也不能單憑直覺作判斷。
「選擇公理」確是一條謎樣的公理,雖然看似十分淺顯,但卻有奇妙的功能,甚至有超乎常理的結果。有些人對它投以信任一票,有些人則抱懷疑態度。有關這條公理的討論和研究,相信還會繼續,那便看看數學家如何把它解決。最後,網主用羅素的一句話作結束,他在談及「選擇公理」時曾說:
「起先它似乎是明白的;但你愈多思考它,由這公理得出的推論就好像變得愈奇怪;最後你完全不明白它的意思到底是甚麼了。」
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