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邊值問題,在微分方程中,邊值問題是一個微分方程和一組稱之為邊界條件的約束條件。邊值問題的解通常是符合約束條件的微分方程的解。在求解微分方程時,除了給出方程本身,往往還需要給出一定的定解條件。最常見的就是初值問題,即給出的定解條件為初始條件;但也有一些情況,定解條件要考慮所討論區域的邊界,例如在一個區間討論時,定解條件在區間的兩個端點給出,這種定解條件就稱為邊界條件,相應的定解問題就稱為邊值問題。
例如:給出一個微分方程為:y″+ m(x)y′+ n(x)y = f(x),另外再給出在求解區間[a,b]兩個端點的條件:
x=a時,y=c;x=b時,y=d。
這時的問題就是邊值問題。 物理學中經常遇到邊值問題,例如波動方程等。在實際應用中,邊值問題應當是適定的(即,存在解,解唯一且解基於連續的初始值)。
根據條件的形式,邊值條件分以下三類:
第一類邊值條件:直接描述物理系統邊界上的物理量,例如振動的弦兩端與平衡位置的距離;
第二類邊值條件:描述物理系統邊界上物理量的導數的情況,例如導熱細桿端點的熱流;
第三類邊值條件:物理系統邊界上物理量與相關導數的線性組合,例如,細桿端點的自由冷卻,溫度、熱流均不確定,但是二者的關係確定,即可列出二者線性組合而成的邊值條件。

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