標籤: 暫無標籤

將一個式子(包括有理式和超越式)或一個式子的某一部分通過恆等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和,這種方法稱之為配方法。這種方法常常被用到式子的恆等變形中,以挖掘題目中的隱含條件,是解題的有力手段之一。

1配方法的應用

求最值
【例】已知實數x,y滿足x²+3x+y-3=0,則x+y的最大值為____。
分析:將y用含x的式子來表示,再代入(x+y)求值。
解:x²+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x²,
代入(x+y)得x+y=3-2x-x²=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。
由於(x+1)²≥0,故4-(x+1)²≤4.故推測(x+y)的最大值為4,此時x,y有解,故(x+y)的最大值為4.

證明非負性

【例】證明:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11≥0
解:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11=(a+3)²+(b+1)²+(c+1)²,結論顯然成立。

2練習題

1、滿足方程(x+3)²+y²+(x-y)²=3的所有實數對(x,y)為_____.
2、求滿足x²+y²+z²=2(yz+1)且x+y+z=4018的所有整數解.
3、已知a是正整數,且a²+2004a是一個正整數的平方,求a的最大值.

3配方技巧

對於任意的a、b(這裡的a、b可以代指任意一個式子,即包括超越式和代數式),都有
a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-2\sqrt{ab}
a+b=\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}
(一般情況下,前一個公式最好用於對x²±y²配方,后一個公式最好用於對x²±ax進行配方)
對於任意的a、b、c,都有
a+b+c=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2-2\sqrt{ab}-2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc}
(一般情況下,這個公式最好用於對x²+y²+z²進行配方)
配方時,只需要明確要進行配方兩項或三項,再套用上述公式即可。
上一篇[HTC Leo-S]    下一篇 [HTC LEGEND]

相關評論

同義詞:暫無同義詞