重心坐標

1定義

雖然我們經常在3D中使用三角形,但三角形卻是一個天生的2D物體,使用3D中任意朝向的三角形是一件很煩惱的事。重心坐標是對這個問題的一種巧妙解決方法,它是一種與三角形表面相關聯,與其3D坐標空間不相關的坐標。
顯然,三角形所在平面的任意點都能表示為頂點的加權平均值,這個權就叫做重心坐標。從重心坐標到標準坐標的轉換為(無論2D或3D,連4D、5D也是這樣):
(b1,b2,b3) b1v1+b2v2+b3v3
式中:b1,b2,b3——重心坐標的分量
v1,v2,v3——三角形的頂點坐標
注意b1+b2+b3=1,所以實際上只有兩個自由度,空間仍是2D的。
實際上,重心坐標能表示三角形所在平面所有的點,但三角形外的點坐標至少有一個為負。
對三角形內的點,計算重心坐標的方法如圖所示:(圖上不太清楚,紅綠藍分別為T1,T2,T3,大三角面積為T)
b1=T1/T,b2=T2/T,b3=T3/T。
對三角形外的點這仍適用,不過點落在一條邊外時,此邊上三角形面積取負數。

2性質

重心坐標具有良好的仿射特徵,對於簡單比有很好的刻畫。
所以可以在三角形ABC的三個頂點分別放質量為(x,y,z)的小球,用質心可以很好的描述平面中點的位置。
結合力學與平面幾何塞瓦定理可得:
設P(x,y,z)為平面上一點,AP交BC於D,BP交AC於E,CP交AB於F,AF/FB=y/x,BD/DC=z/y,CG/GA=x/z。
三點共線的充要條件是三點重心坐標組成的三階行列式的值=0。

3關係

若三角形ABC所在平面中一個點的重心坐標P(x,y,z),定義其內心坐標為P(x/a,y/b,z/c),其中a、b、c為A、B、C對邊邊長。
內心坐標是用P到三角形ABC三邊距離之比來刻畫P點的位置。
三點共線的充要條件是內心坐標坐標組成的3階行列式的值=0。

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