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錯位相減法是一種常用的數列求和方法,應用於等比數列與等差數列相乘的形式。 形如An=BnCn,其中Bn為等差數列,Cn為等比數列;分別列出Sn,再把所有式子同時乘以等比數列的公比,即kSn;然後錯一位,兩式相減即可。

1 錯位相減法 -舉例

求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)   

當x=1時,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;   

當x不等於1時,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);   

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n;   

兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;   

化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2  

2 錯位相減法 -簡介

 

錯位相減法是求和的一種解題方法。

3 錯位相減法 -解題方法

在題目的類型中:一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。這是例子(格式問題,在a後面的數字和n都是指數形式):   

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1)   

在(1)的左右兩邊同時乘上a。 得到等式(2)如下:   

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2)   

用(1)—(2),得到等式(3)如下:   

(1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3)   

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1   

S=a+a2+a3+……+an-1+an用這個的求和公式。   

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1   

最後在等式兩邊同時除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。 

4 錯位相減法 -具體例題

例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……+(2n-1)·x的n-1次方(x不等於0)   

解:當x=1時,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n^2

當x不等於1時,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方   

所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方   

所以兩式相減的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)-(2n-1)·x的n次方。   

化簡得:Sn=(2n-1)·x地n+1次方-(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方   

Cn=(2n+1)*2^n   

Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n   

2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)   

兩式相減得   -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比數列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2   

所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

錯位相減法這個在求等比數列求和公式時就用了   

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n   

兩邊同時乘以1/2   1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,這樣寫看的更清楚些)   

兩式相減   1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)   Sn=1-1/2^n

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