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鏈式法則是求複合函數導數的一個法則。

1 鏈式法則 -定義

鏈式法則(chain rule),是求複合函數導數的一個法則。  若h(x)=f(g(x))   則h'(x)=f'(g(x))g'(x)

所謂的複合函數,是指以一個函數作為另一個函數的自變數。如設f(x)=3x,g(x)=x+3,g(f(x))就是一個複合函數,並且g(f(x))=3x+3 .

2 鏈式法則 -舉例

(1)求函數 f(x) = (x^2 + 1)^3的導數。設 g(x) = x^2 + 1,h(x) = x^3.
f'(x)=h'(g(x))g'(x)

      =[3(g(x))^2](2x)

      =[3(x^2+1)^2](2x)

      =6x(x^2+1)^2

(2)求函數arctg sin x 的導數。

arctg sin x的導數arctg sin x的導數


 

 

 

 

 

3 鏈式法則 -證明

證法(一)

先證明個引理   

f(x)在點X0可導的充要條件是在x0的某領域U(x0)內,存在一個在點x0連續的函數H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)   

證明:

設f(x)在x0可導,令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心領域);

H(x)=f'(x0),x=x0   

∵LIM(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)   

∴H(x)在點x0連續,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)   

反之,設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續,且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)   

∵存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)   

∴f(x)在點x0可導,且f'(x0)=H(x0)   

引理證畢。   

設u=φ(x)在點u0可導,y=f(u)在點u0=φ(x0)可導,則複合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)   

證明:

由f(u)在u0可導,由引理必要性,存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)   

又由u=φ(x)在x0可導,同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)   

於是就有,f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)   

因為φ,G在x0連續,H在u0=φ(x0)連續,因此H(φ(x))G(x)在x0連續,再由引理的充分性可知F(x)在x0可導,且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)   

證法(二)

y=f(u)在點u可導,u=g(x)在點x可導,則複合函數y=f(g(x))在點x0可導,且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)   

證明:因為y=f(u)在u可導,則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)   

當Δu≠0,用Δu乘等式兩邊得,Δy=f'(u)Δu+αΔu   

但當Δu=0時,Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。   

又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊,且求Δx->0的極限,得   

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx

        =lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx

        =f'(u)lim(Δx->0)Δy/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx   

又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時,有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0   

則lim(Δx->0)α=0   

最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

4 鏈式法則 -高階導數

複合函數的最初幾個高階導數為:
鏈式法則複合函數的最初幾個高階導數
 
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