1定義

求一個數a的平方根的運算,叫做開平方(extraction of square root),其中a叫做被開方數。
在實數範圍內a必須大於或等於零,即a為非負數
開平方
開方公式
X(n + 1) = Xn + (A / Xn – Xn)1 / 2.。(n,n+1與是下角標)
開平方的理論依據
開平方是平方的逆運算,只要我們知道平方的計算方法,開平方就迎刃而解了。
我們令10位數值為A,個位數值為B,即為A*10+B,根據二數和的平方有:(Ax10+B)^2=(Ax10)^2+2(Ax10)xB+B^2=(A^2)x100+(20A+B)xB。
舉例說明:例359^2計算方法
1、3^2=9,
2、(20x3+5)x5=325,
3、(20*35+9)*9=6381,
4、將這些數,按兩位分節合起來:90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。
將這些計算步驟倒過來,就是開平方。同理,可以得開立方及N次方的方法。

2開方的計算步驟

1.將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開(豎式中的11』56),分成幾段,表示所求平方根是幾位數;
筆算開平方方法

  筆算開平方方法

2.根據左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數(豎式中的3);
3.從第一段的數減去最高位上數的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個餘數(豎式中的256);
4.把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數,所得的最大整數作為試商(20×3除256,所得的最大整數是 4,即試商是4);
5.用所求的平方根的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商.如果所得的積小於或等於餘數,試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於餘數,就把試商減小再試(豎式中(20×3+4)×4=256,說明試商4就是平方根的第二位數);
6.用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數.
如遇開不盡的情況,可根據所要求的精確度求出它的近似值.
例如求 的近似值(精確到0.01),可列出上面右邊的豎式,並根據這個豎式得到。
筆算開平方運算較繁,在實際中直接應用較少,但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值.
實例 開方公式
X(n + 1) = Xn + ( Xn – Xn)1 / 2.。(n,n+1與是下角標)
例如,A=5:
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取 中間值2.5。
第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;輸入值大於輸出值,負反饋;
即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。
開平方
第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;輸入值小於輸出值,正反饋;
即5/2.2=2.27272,2.27272-2.2=0.07272,0.07272×1/2=0.03636,2.2+0.03636=2.23636。取3位數2.23。
第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525,,2.2421525-2.23=0.0121525,,0.0121525×1/2=0.00607,,2.23+0.006=2.236.,取4位數。
每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。
例如A=200.
200介如10的平方至20的平方之間。初始值可以取11,12,13,14,15,16,17,18,19。我們去15.
15+(200/15-15)1/2=14。取19也一樣得出14.。:19+(200/19-19)1/2=14.。
14+(200/14-14)1/2=14.1。
14.1+(200/14.1-14.1)1/2=14.14.

3古代數學成就

中國古代數學的成就燦爛輝煌,早在公元前一世紀問世的中國經典數學著作《九章算術》里,就在世界數學史上第一次介紹了上述筆算開平方法.據史料記載,國外直到公元五世紀才有對於開平方法的介紹.這表明,古代對於開方的研究中國在世界上是遙遙領先的.
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