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在泛函分析中,開映射定理是一個基本的結果,它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性運算元是滿射的,那麼它就是一個開映射。更加精確地(Rudin 1973, 定理2.11):該定理的證明用到了貝爾綱定理,X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間,那麼定理的結論就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空間,那麼定理的結論仍然成立。

目錄
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1 結果 2 證明 3 推廣 4 參考文獻

1結果

開映射定理有一些重要的結果:
如果A:XY是巴拿赫空間XY之間的雙射連續線性運算元,那麼逆運算元A:YX也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) 如果A:XY是巴拿赫空間XY之間的線性運算元,且如果對於X內的每一個序列(xn),只要xn → 0且Axny就有y = 0,那麼A就是連續的(閉圖像定理)。(Rudin 1973, 定理2.15)

2證明

我們需要證明,如果A :XY是巴拿赫空間之間的連續線性滿射,那麼A就是一個開映射。為此,只需證明AX內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
UV分別為XY內的單位球。那麼X是單位球的倍數kU的序列的交集,kN,且由於A是滿射,
根據貝爾綱定理,巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集,故存在k > 0,使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此,存在一個開球B(c,r),其中心為c,半徑r > 0,包含在A(kU)的閉包內。如果vV,那麼c+rvc位於B(c,r)內,因此是A(kU)的極限點,根據加法的連續性,它們的差rvA(kU) − A(kU) ⊂ A(2kU)的極限點。根據A的線性,這意味著任何vV都位於A(δ  U)的閉包內,其中δ=r / (2k)。於是可以推出,對於任何yY和任何ε > 0,都存在某個xX,滿足:
且 固定yδV。根據(1),存在某個x 1,滿足||x 1|| < 1且||yAx 1|| < δ / 2。定義序列{xn}如下。假設:
且 根據(1),我們可以選擇xn +1,使得:
且 因此xn +1滿足(2)。設
從(2)的第一個不等式可知,{sn}是一個柯西序列,且由於X是完備的,sn收斂於某個xX。根據(2),序列Asn趨於y,因此根據A的連續性,有Ax=y。而且:
這表明每一個yδV都屬於A(2 U),或等價地,X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此,A(U)是Y內0的鄰域,定理得證。

3推廣

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完備性則是:當XY是F空間時,定理仍然成立。更進一步,這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11):
X為F空間,Y為拓撲向量空間。如果A:XY是一個連續線性運算元,那麼要麼A(X)是Y內的貧集,要麼A(X) = Y。在後一個情況中,A是開映射,Y也是F空間。 更進一步,在這個情況中,如果NA的核,那麼A有一個標準分解,形如下式:
其中X/NX對閉子空間N的商空間(也是F空間)。商映射XX/N是開放的,且映射α是拓撲向量空間的同構(Dieudonné, 12.16.8)。

4參考文獻

Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press 本文含有從 PlanetMath 上的 Proof of open mapping theorem 來的材料,版權遵守 知識共享 署名-相同方式共享 協議。

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