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1基本概念

開集是拓撲學里最基本的概念之一。
假設X是一個集合, 如果存在一系列X的子集合滿足下面的條件,那麼每個這樣的子集就稱為X的一個開集,X稱為拓撲空間:
(1)空集和X為開集
(2)有限個開集之交為開集
(3)任意個開集之並為開集

2度量空間的開集

設A是度量空間X的一個子集。如果A中的每一個點都有一個以該點為球心的小球包含於A,則稱A是度量空間X中的一個開集。

3R上通常拓撲

賦予實數空間R絕對值度量,對應的開集稱為通常拓撲。在通常拓撲下有以下結論:
1.實數空間R中的開區間都是開集
設a,b∈R,a<b.我們說開區間
(a,b)={x∈R|a<x<b}
是R中的一個開集.這是因為如果x∈(a,b),若令
ε=min{x-a,b-x},
則有小球B(x,ε)=(x-ε,x+ε)包含於(a,b).
2.也同樣容易證明無限的開區間
(a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b},(-∞,∞)=R
都是R中的開集.
3.閉區間不是R中的開集
實數空間上的閉區間
[a,b]={x∈R|a≤x≤b}
不是R中的開集.因為對於a∈[a,b]而言,任何
ε>0,B(a,ε)包含於 [a,b]都不成立.
4.半開半閉區間、無限閉區間都不是R中的開集
半開半閉的區間
(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b}
無限的閉區間
[a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}等
都不是R中的開集.

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