標籤:函數論

間斷點是指:在非連續函數y=f(x)中某點處xo處有中斷現象,那麼,xo就稱為函數的不連續點。

1定義

設一元實函數f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義。如果函數f(x)有下列情形之一:
震蕩間斷點

  震蕩間斷點

(1)在x=x0沒有定義;
(2)雖在x=x0有定義,但x→x0 limf(x)不存在;
(3)雖在x=x0有定義,且x→x0 limf(x)存在,但x→x0 limf(x)≠f(x0),
則函數f(x)在點x0為不連續,而點x0稱為函數f(x)的間斷點。

2類型

幾種常見類型。
可去間斷點:函數在該點左極限、右極限存在且相等,但不等於該點函數值或函數在該點無定義。如函數y=(x^2-1)/(x-1)在點x=1處。(圖一)
跳躍間斷點:函數在該點左極限、右極限存在,但不相等。如函數y=|x|/x在點x=0處。(圖二)
無窮間斷點:函數在該點可以無定義,且左極限、右極限至少有一個為∞。如函數y=tanx在點x=π/2處。(圖三)
振蕩間斷點:函數在該點可以有無定義,當自變數趨於該點時,函數值在兩個常數間變動無限多次。如函數y=sin(1/x)在x=0處。(圖四)
可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點,也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。
由上述對各種間斷點的描述可知,函數f(x)在第一類間斷點的左右極限都存在,而函數f(x)在第二類間斷點的左右極限至少有一個不存在,這也是第一類間斷點和第二類間斷點的本質上的區別。

3圖例

第一類間斷點

  第一類間斷點

第二類間斷點

  第二類間斷點

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