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閔可夫斯基空間

標籤:物理幾何相對論

狹義相對論中由一個時間維和三個空間維組成的時空,為俄裔德國數學家閔可夫斯基(H.Minkowski,1864-1909)最先表述。他的平坦空間(即假設沒有重力,曲率為零的空間)的概念以及表示為特殊距離量的幾何學是與狹義相對論的要求相一致的。閔可夫斯基空間不同於牛頓力學的平坦空間。

1引言

阿爾伯特·愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦科技大學(Eidgenössische Technische Hochschule, ETH; Swiss Federal Institute of Technology)時期的數學老師赫爾曼·閔可夫斯基在愛因斯坦提出狹義相對論之後,於1907年將愛因斯坦與亨德里克·洛侖茲的理論結果重新表述成(3+1)維的時空,其中光速在各個慣性參考系皆為定值,這樣的時空即以其為名,稱為閔可夫斯基時空,或稱閔可夫斯基空間。
愛因斯坦一開始不認為這樣的表述有何重要性,但當他1907年開始轉往廣義相對論發展時,發現閔可夫斯基時空可說是其所要發展的理論架構的基礎,轉而對這樣的表述採取高的評價。

2推導

我們從空間坐標變換說起。我們知道,平面解析幾何中的坐標變換式是:
x'=xcosφ+ysinφ
y'=-xsinφ+ycosφ
藉助矩陣的形式,我們可以把上式寫成:
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│ │a11 a12││x1│
│ │=│ ││ │
│x2'│ │a21 a22││x2│
└ ┘ └ ┘└ ┘
這裡的變換矩陣
┌ ┐ ┌ ┐
│a11 a12│ │cosφ sinφ │
│ │=│ │
│a21 a22│ │-sinφ cosφ │
└ ┘ └ ┘
是一個正交矩陣,因此這樣的坐標變換能保證任意兩點間距離不變。
從這裡只要一步就可以跨進狹義相對論。我們把時間t乘以一個因子ic,這裡c是具有速度量綱的一個常數,那麼ict就有了長度的量綱(不過它的數值是虛的)。這個ict就作為與
三維空間的三個坐標相併列的第四維度,並且規定在坐標變換(實際上就是從一個慣性系變換到另一個慣性系)時,變換矩陣必須是正交的。比如,我們常見的洛侖茲變換:
x'=(x-vt)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
y'=y
z'=z
t'=(t-vx/c^2)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
如果把x、y、z依次記為x1、x2、x3,又記ict為x4,寫成矩陣的形式就是:
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│ │ γ 0 0 iβγ ││x1│
│x2'│=│ 0 1 0 0 ││x2│
│x3'│ │ 0 0 1 0 ││x3│
│x4'│ │-iβγ 0 0 γ ││x4│
└ ┘ └ ┘└ ┘
上式中,β=v/c,γ=1/√1-v^2/c^2 。這麼一來,「時空統一」看起來是不是清楚多了?
在這樣的正交變換之下,有一個叫做「四維間隔」的東西是守恆的。如果記間隔為s,那麼
s^2=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2=r^2-(ct)^2
這個「四維間隔」,也就是四維時空中兩點(準確地說應該叫做「時空點」)間的「距離」。上式最右邊的r是空間上的距離,t是時間上的距離。
與此同時,c就成了四維時空中一個非常獨特的速度。
假如:
在某個慣性系S1看來,一個物體從A地勻速運動到B地,歷時t1,穿越距離r1;
而在另一慣性系S2中,這一物體從A地到B地,歷時t2,穿越距離r2;
那麼在這兩個慣性系中,「物體從A地到B地」所經歷的「四維間隔」的平方分別是
s1^2=r1^2-(ct1)^2
s2^2=r2^2-(ct2)^2。
倘若在S1系中此物體速度為c,那麼r1/t1=c,於是s1=0。則經過時空坐標的變換后必有s2=0即r2/t2=c,也就是說這一物體在S2系中的速度也是c。換句話說,只要時間t以一個固定的常數c(不管這是不是光速!)與空間相聯繫,那麼以c為速度的物體在一切慣性系中的速度都是c。
前提是C不為0。

3數學定義

設V是實數域上的四維空間,若g是一個非退化的對稱型且其正慣性指數等於3,則稱(V,g)是一個閔可夫斯基空間.g在適當基下有如下矩陣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -1
V上的正交變換即稱為洛倫茲變換,V中的迷向向量稱為光向量,V中適合g(x,x)>0的向量x稱為空間向量,而適合g(x,x)<0的向量x稱為時間向量.這些相關名詞指出了閔可夫斯基空間的物理學淵源.

4性質

可以證明閔可夫斯基空間的下列性質:
(1)任意兩個時間向量不可能相互正交;
(2)任意一個時間向量都不可能正交於一個光向量;
(3)兩個光向量正交的充分必要條件是它們線性相關.
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