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在集合論這一數學分支里,阿列夫數,又稱阿列夫數是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ (由希伯來字母 ‎א‎ ‎演變而來)加角標表示可數集(包括自然數)的勢標記為ℵ₀ ,下一個較大的勢為ℵ₁ ,再下一個是,以此類推。一直繼續下來,便可以對任一序數 α 定義一個基數。阿列夫數用來衡量集合的大小,而無限只是定義成實數線上的最大的極限或擴展的實軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數,而無限只是無限而已。

1定義

這一概念來自於格奧爾格·康托爾,他定義了勢,並認識到無限集合是可以有不同的勢的。
阿列夫數與一般在代數與微積分中出現的無限(∞) 不同。

2構造性定義

在集合論這一數學分支里,阿列夫數,又稱阿列夫數是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ (由希伯來字母 ‎א‎ ‎演變而來)加角標表示可數集(包括自然數)的勢標記為ℵ₀,下一個較大的勢為ℵ₁,再下一個是ℵ2,以此類推。一直繼續下來,便可以對任一序數 α 定義一個基數。
這一概念來自於格奧爾格·康托爾,他定義了勢,並認識到無限集合是可以有不同的勢的。
阿列夫數與一般在代數與微積分中出現的無限(∞) 不同。阿列夫數用來衡量集合的大小,而無限只是定義成實數線上的最大的極限或擴展的實軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數,而無限只是無限而已。

3如何理解阿列夫零

在了解阿列夫零前,先看一個關於無窮大悖論的故事
基塔:「「無窮飯店」是我們銀河系中心的一家巨大的旅館。它擁有無窮多個房間,這些房間通過黑洞伸展到更高級的時空領域。房間號從1開始,無限制地排下去。 一天,這個旅店的客房全住進了客人,這時候來了一位飛碟(不明飛行物)的駕駛員,他正要去別的星系。 儘管已經沒有空房間了,可是旅店老闆仍然給駕駛員找到了一個房間。他不過是把原來住在各個房間里的房客都一一移到高一號的房間。於是左邊第1號房間就空出來給該駕駛員住。 第二天又來了五對夫婦渡蜜月。無窮飯店能不能接待他們?可以,老闆只不過把每個客人都一一移到高5號的房間中去,空出的1到5號房就給這5對夫婦 周末,又有無窮多個泡泡糖推銷員來到這家旅館開會。 」
赫爾曼:「我能夠理解無窮飯店可以怎樣接待有限數量的新到者,可是它怎麼能夠再給無窮多旅客找到新房間呢? 」
基塔:「很容易,我親愛的赫爾曼。老闆只要把每個房間里的客人移到原來號碼兩倍的房間中去就行了。 」
赫爾曼:「對了!這下每個房間里的人都住到雙號房中,餘下的所有單號房間有無窮多個,它們空出來給泡泡糖商人住!」
關於無窮大還有很多悖論。計數用的數是無窮大等級中最低一級的無窮數。在整個宇宙中的點數是第二級無窮大數,第三級無窮大數比這要多得多!
德國數學家喬治·康托發現了無窮大的這種等級,他把這種新型的奇異等級稱為阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。關於阿列夫數有很多深刻的神秘性,解決它們是現代數學中最激動人心的挑戰之一。
如我們所知,任何一個有限集都不能與它的一個真子集建立一一對應的關係。對於無窮集這—點就不成立了。看上去這樣就違反了整體大於局部這一古老法則。確實,一個無窮集可以定義為能夠與它的一個真子集一一對應的集。
無窮飯店的老闆首先表明了由一切計數用的數所組成的集合(這是喬治·康托稱為阿列夫零的集合)可以與它的某一個真子集一一對應,並餘下一個元素,或者五個元素。顯然,這一程序可以變化,使得從一個阿列夫零集中減去它的一個子集,這個子集也是阿列夫零集,從其餘下的數中就會得到所要的任何有限個數量的元素。
還有一個辦法可以使這一減法形象化,想象有兩根無限長的測量棒並排放在桌子上,把兩棍棒的零端對齊放在桌子中心。兩根棒都刻了線,按厘米計數。兩根棒在右端延伸到無窮遠,所有數都一一對應:0—0、1—1、2—2等等。現在想象把一根棒向右移動n厘米。移動以後,那棍棒上的所有數仍與不動的棒上的數一一對應。如果那根棒移動了3厘米,則棒上教的對應就是0—3、1—4、2—5、……。移動的n厘米代表兩棍棒長之差。不過,兩根棒的長度仍然是阿列夫零厘米長。由於我們可以讓二者之差n為我們所要的任何一個值,很明顯用阿列夫零減阿列夫零就是一個不確定的運算。
飯店老闆最後施的策略就是打開無窮多個房間。這表明如何用阿列夫零減阿列夫零得到阿列夫零。讓每一個數與每一個偶數一一對應,則餘下的是一個由全部奇數所構成的阿列夫零集。
由實數所構成的集合形成更高一級的無窮集,康托稱之為阿列夫1。康托的輝煌成就之一就是著名的「對角線證明」,它說的是阿列夫1的元素不可能與阿列夫0的元素構成一一對應關係。阿列夫1也就是在一條線段上全部點的數目。康托證明了這些點怎樣能與一條無限直線上的點一一對應,怎樣與一方塊上的點、與一無限大平面上的點;與一立方體中的點、與無限大空間中的點一一對應,如此下去還可以與超立方體或更高維空間中的點一一對應。阿列夫1又稱為「連續統的勢」。
阿列夫2是一切可能的數學函數——連續函數和不連續函數的數目。因為任何一個函數都可畫為一曲線,我們把「曲線」取廣義以包括不連續曲線,則阿列夫2就是一切可能的曲線數目。同樣,如果我們所指的曲線是在一張郵票上,或者在一個無窮空間里,或者在一個無窮超空間里的全部曲線,這一切都沒有問題,仍是阿列夫2。康托還證明了阿列夫2不可能與阿列夫1一一對應。
當一個阿列夫數被升級為它本身的冪,則產生一個更高級的阿列夫數,它不能與產生它的阿列夫數一一對應。因此,阿列夫數的階梯向上是無窮的。
在阿列夫數之間有沒有什麼超限數?比如說,有沒有一個數比阿列夫零大、比阿列夫1小?康托確信不存在這種數。他的猜測成為著名的廣義連續統假設。
1938年,哥德爾證明標準集合論與不存在中介的超限數假設是一致的。1963年,保羅·科恩證明,如果人們假定存在中介數,這也不與集合論矛盾。簡言之,連續統假設是由表明它是「不可判定的」來判定的。
科恩的研究結果是:集合論現在分為康托型和非康托型的。康托型集合論是假設在阿列夫數之間沒有中介數。非康托型集合論是假定有無限多個中介數。情況類似於幾何學中,發現平行線假設不能被證明后,幾何學分成了歐氏幾何和非歐幾何一樣。
阿列夫零
希望學習更多關於這些神秘的超限數知識的學生可以閱讀愛德華·卡斯納和詹姆斯·紐曼著的《數學與想象力》第二章「古格爾之後」和《科學美國人》1966年三月號數學遊戲部分
阿列夫(aleph),是希伯來文字母表的第一個字母。
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