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阿羅的不可能定理

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阿羅不可能定理(Arrow'simpossibilitytheorem,阿羅的不可能性定理)是指:如果眾多的社會成員具有不同的偏好,而社會又有多種備選方案,那麼在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結果。定理是由1972年度諾貝爾經濟學獎獲得者美國經濟學家肯尼思·J·阿羅提出。

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1 阿羅的不可能定理 -定義

阿羅不可能定理(Arrow'simpossibilitytheorem,阿羅的不可能性定理)

阿羅不可能性定理是指:如果眾多的社會成員具有不同的偏好,而社會又有多種備選方案,那麼在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結果。定理是由1972年度諾貝爾經濟學獎獲得者美國經濟學家肯尼思·J·阿羅提出。

2 阿羅的不可能定理 -背景資料

1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅(Kenneth J.Arrow)在他的現在已經成為經濟學經典著作的《社會選擇與個人價值》一書中,採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說「將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序」進行了研究。結果,他得出了一個驚人的結論:絕大多數情況下是——不可能的!更準確的表達則是:當至少有三名候選人和兩位選民時,不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是:隨著候選人和選民的增加,「程序民主」必將越來越遠離「實質民主」。從而給出了證明一個不可思議的定理:假如有一個非常民主的群體,或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會,對它來說,群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地,對於最應該做的事情,群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策,就要建立一個公正而一致的程序,能把個體的偏好結合起來,達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序,對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。 

3 阿羅的不可能定理 -孕育和誕生

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阿羅不可能定理的證明並不難,但是需要嚴格的數學邏輯思維。關於這個定理還有一段情節頗為曲折的故事。

阿羅在大學期間就迷上了數學邏輯:讀四年級的時候, 波蘭大邏輯學家塔斯基(Tarski) 到阿羅所在的大學講了一年的關係演算, 阿羅在他那裡接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前. 阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢。

後來, 阿羅考上研究生.在哈羅德·霍特林(Harold Hotelling) 的指導下攻讀數理經濟學 他發現,邏輯學在經濟學中大有用武之地 就拿消費者的最優決策來說吧,消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組台、這正好與邏輯學上的排序概念吻台。又如廠商理論總是假設廠商追求利潤最大化, 當考慮時間因素時,因為將來的價格是未知的廠商只能力圖使基於期望價格的期望利潤最大化。我們知道、現代經濟中的企業一般是由許多股東所共同擁有100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望,相應地根據期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那末,問題如何解決呢?一個自然的辦法是由股東(按其佔有股份多少)進行投票表決, 得票最多的方案獲勝這又是一個排序問題阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關係的傳遞性進行考察 結果輕而易舉地舉出了一個反例。

阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣,但同時也成為他進一步研究的障礙 因為他覺得這個悖論素未謀面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論,是由法國政治哲學家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知,於是暫時放棄了進一步的研究。這是1947年。

次年, 在芝加哥考爾斯(Cowles)經濟研究委員會, 阿羅出於某種原因對選擇政治學發生了濃厚的興趣:他發現在某些條件下,「少數服從多數」的確可以成為一個合理的投票規則。但是一個月後,他在《政治經濟學雜誌》里發現布萊克(Black)的一篇文章已捷足先登,這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續研究下去其實還有另一層的原因,就是他一直以 嚴肅的 經濟學研究為己任,特別是致力於運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經濟計量分析的基礎 他認為在除此以外的「旁門左遭』中深究下去會分散他的精力。

1949年夏天, 阿羅擔任蘭德公司(Rand)的顧問。這個為給美國空軍提供諮詢而建立起來的公司那時的研究範圍十分廣泛,包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨([[]Helmer]]) 的哲學家試圖將對策論應用於國家關係的研究, 但是有個問題令他感到十分棘手: 當將局中人詮釋為國家時,儘管個人的偏好是足夠清楚的,但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他, 經濟學家已經考慮過這個問題, 並且一個恰當的形式化描述已經由伯格森(Bergson) 在1938年給出。伯格森用一個叫做社會福利函數的映射來描述將個人偏好彙集成為社會偏好的問題, 它將諸個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用雖然伯格森的敘述是基於基數效用概念的, 但是阿羅告訴赫爾墨, 不難用序數效用概念加以重新表述。於是赫爾墨順水推舟,請阿羅為他寫一個詳細的說明當阿羅依囑著手去做時,他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經知道「少數服從多數「一般來說不能將個人的偏好彙集成社會的偏好,阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之後, 阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結果。果然, 他很快就發現了這樣一個結果; 幾個星期以後,他又對這個結果作進一步加強。

阿羅不可能定理就這樣呱呱墜地了。

從1947年萌發胚芽到t950年開花結果,阿羅不可能定理的問世可謂一波三折, 千呼萬喚始出來, 而且頗有點 無心插柳的意味。但是,正是在這無心背後的對科學鍥而不捨的追求,才使邏輯學在社會科學這塊他鄉異壤開出一朵千古留芳的奇葩 這不能不說是耐人尋味的。

4 阿羅的不可能定理 -操作實務

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眾所周知,多數原則是現代社會廣泛接受的決策方法。洛克認為「根據自然和理性的法則,大多數具有全體的權力,因而大多數的行為被認為是全體的行為,也當然有決定權了」。但很多在自然法學家那裡是想當然正確的東西在社會選擇理論中是需要證明的。所謂社會選擇,在數學上表達為一個建立在所有個人的偏好上的函數(或對應),該函數的性質代表了一定的價值規範,比如公民主權、全體性、匿名性、目標中性,帕累托最優性,無獨裁性等。社會選擇最重要的問題是,這些價值規範之間是否是邏輯上協調的。阿羅證明,不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函數:①個人偏好的無限制性,即對一個社會可能存在的所有狀態,任何邏輯上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除;②帕累托原則,即一個方案對所有人是最優的意味著相對於社會偏好序也是最優的;③非相關目標獨立性,即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響;④社會偏好的非獨裁性。

5 阿羅的不可能定理 -內容

阿羅的不可能定理源自孔多塞的「投票悖論」,早在十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的「投票悖論」:假設甲乙丙三人,面對ABC三個備選方案,有如圖的偏好排序。

甲(a > b > c),乙(b > c > a),丙(c > a > b)
註:甲(a > b > c)代表——甲偏好a勝於b,又偏好b勝於c。

若取「a」、「b」對決,那麼按照偏好次序排列如下

甲(a > b ),乙(b > a ),丙(a > b )
社會次序偏好為(a > b )

若取「b」、「c」對決,那麼按照偏好次序排列如下

甲(b > c ),乙(b > c ),丙(c > b )
社會次序偏好為(b > c )

若取「a」、「c」對決,那麼按照偏好次序排列如下

甲(a > c ),乙(c > a ),丙(c > a )
社會次序偏好為(c > a )

於是我們得到三個社會偏好次序——(a > b )、(b > c )、(c > a ),其投票結果顯示「社會偏好」有如下事實:社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見,這種所謂的「社會偏好次序」包含有內在的矛盾,即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c!所以按照投票的大多數規則,不能得出合理的社會偏好次序。

阿羅不可能定理說明,依靠簡單多數的投票原則,要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序,是不可能的。這樣,一個合理的公共產品決定只能來自於一個可以勝任的公共權利機關,要想藉助於投票過程來達到協調一致的集體選擇結果,一般是不可能的。

6 阿羅的不可能定理 -推理及學者的評價

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為了簡單起見,假定,每個個體至少有3個供排列的選項,可以用各種味道的餅乾為選項的例子,如,香草餅乾(V)、巧克力餅乾(C)和草莓餅乾 (S),每一個人要形成一個序列,表示出他對3種味道的喜愛程度,如V>S>C,表示這個人最喜歡香草餅乾,其次是草莓餅乾,最後是巧克力餅乾。設有甲乙丙三人作選擇,他們的個人偏好為:

甲: V>C>S,乙: C>S>V,丙: S>V>C。 表1 投票悖論

投票者 對不同選擇方案的偏好次序:甲 V C S,乙 C S V, 丙 S V C ,用民主的多數表決方式,如果三個人都能充分表達自己的意見,則結果必然如下所示:

首先,在V和C中選擇,甲、丙喜歡V,乙喜歡C;然後,在C和S中選擇,甲、乙喜歡C,丙喜歡S;最後,在V和S中選擇,乙、丙喜歡S,甲喜歡V。

這樣三個人的最終表決結果如下:

V>C,C>S,S>V可見,利用少數服從多數的投票機制,將產生不出一個令所有人滿意的結論,這就是著名的「投票悖論」(paradox of voting)。這個投票悖論最早是由康德爾賽(Coudorcet,Marquis de)在l8世紀提出的,因而該悖論又稱為「康德爾賽效應」,而利用數學對其進行論證的則是阿羅。

用數學語言來說,即:假設群體S上有m個個體成員,群體中出現的各種事件構成一個集合X,每個個體對每一事件都有自己的態度,即每個人都對集合X有一個偏好關係 > i=1,2,…,m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為:>_5 =P(>_1 \ldots,>_m) 其中P是一種由每個個體偏好得出群體偏好的規則。按這個規則從個體排序(偏好)得到群體排序(偏好),而且這個排序符合民主社會的民主決策的各種要求。注意這個排序是自反的,即如果A>B,那麼,BB,B>C,則有A>C;並且還是完全的,即要麼A>B,要麼B>A,二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會的民主決策的各種要求是什麼,阿羅用4個公理(有時表述為5條,把公理1分為兩條)表述出這些要求。他用的是數學方法,符號化的公理和數理邏輯的證明方法,為了簡單地說明問題,我們採用了自然語言解釋。

公理1 個體可以有任何偏好;而且是民主選擇——每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇(數學上稱為原則U—無限制原則: > i,u=1,2,… , m在x上的定義方式無任何限制)。

公理2 不相干的選擇是互相獨立的;(數學上稱為原則I— —獨立性原則:對於X中的兩個事件X和Y,>_5=P( iY不成立。就是說,每人都有同樣明確態度的兩件事,社會也應該有同樣的態度。)

公理4 沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。(數學上稱為原則D—— 非獨裁原則:不存在某個i,使得PV);同理,在對V和S以及C和S分別進行投票時,可以得到S 以兩票(乙丙)對一票(甲)而勝出於V(S>V);C以兩票(甲乙)對一票(丙)而勝出於S(C>S)。這樣,C>S—S>V— C>V,投票悖論就此宣告消失,唯有C項選擇方案得到大多數票而獲勝。

森把這個發現加以延伸和拓展,得出了解決投票悖論的三種選擇模式:(1)所有人都同意其中一項選擇方案並非最佳;(2)所有人都同意其中一項選擇方案並非次佳;(3)所有人都同意其中一項選擇方案並非最差。

森認為,在上述三種選擇模式下,投票悖論不會再出現,取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。

一個更完整、更簡單也更具一般意義的不可能性定理,是艾利亞斯在2004年發表的。這一定理聲稱:如果有多於兩個可供選擇的社會狀態,那麼,任何社會集結運算元,只要滿足「偏好逆轉」假設和「弱帕累托」假設,就必定是獨裁的。特別地,阿羅的社會福利函數和森的社會選擇函數,都是社會集結運算元的特例,並且偏好逆轉假設在阿羅和繆勒各自定義的社會選擇框架內分別等價於阿羅的「獨立性假設」和繆勒的「單調性假設」,從而阿羅的不可能性定理、森的最小自由與帕累托效率兼容的不可能性定理、繆勒和塞特斯維特的一般不可能性定理,均可視為艾利亞斯一般不可能性定理的特例。艾利亞斯的不可能性定理有怎樣的經濟學和社會學結論是人們正在研究的問題。

7 阿羅的不可能定理 -經典案例

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假設有甲、乙、丙三人,分別來自中國、日本和美國,而且是分別多年的好朋友。三人久別重逢,欣喜之餘,決定一起吃飯敘舊。但是,不同的文化背景形成了他們不同的飲食習慣,對餐飲的要求各不相同,風格各異:
甲:中餐>西餐>日本餐

乙:日本餐>中餐>西餐

丙:西餐>日本餐>中餐

如果用民主的多數表決方式,結果如下所示:

首先,在中餐和西餐中選擇,甲、乙喜歡中餐,丙喜歡西餐;

然後,在西餐和日本餐中選擇,甲、丙喜歡西餐,乙喜歡日本餐;

最後,在中餐和日本餐中選擇,乙、丙喜歡日本餐,甲喜歡中餐。

三個人的最終表決結果如下:

中餐>西餐,西餐>日本餐,日本餐>中餐

所以,利用少數服從多數的投票機制,將產生不出一個令所有人滿意的結論,這就是著名的"投票悖論"(paradoxofvoting)。

投票悖論最早是由康德爾賽(MarquisdeCoudorcet)在18世紀提出的,因而該悖論又稱為"康德爾賽效應"[③],而利用數學對其進行論證的則是肯尼斯·阿羅。

阿羅認為,有關社會選擇的兩個公理與民主主義所要求的諸條件不相適應。他所說的公理指以下內容:

公理1:連貫性(connectedness)

在x和y兩項選擇共存時,下面的某種情況永恆成立:

x大於或等於y;y大於或等於x。

公理2:傳遞性(transitivity)

在有x、y、z三項選擇時,會出現這樣幾種情況:

x大於或等於y;y大於或等於z;則x大於或等於z。

阿羅指出,奠定這兩個公理的基礎的社會福利函數與他所謂的民主主義的諸條件不相稱。民主主義的諸條件如下:

(1)條件1:個人排列順序的普通容許區間。

作為個人來講,對於如何選擇自己的選擇值序列問題是無關緊要的。例如,在面臨x、y、z三項選擇時,無論是x>y>z,還是z>y>x,或者是y>z>x,......總而言之,允許個人按照自己意願排列選擇值順序。

(2)條件2:社會評價與個人評價的正態相關。

假如有五個人來選擇x、y,當其中三人為x>y,另外二人為xy,而且,即使出現少數派中的一方改變主意,x>y時,x>y的社會全體的多數表決結果將仍然如故,不會發生改變。

(3)條件3:與無關選擇對象無關的獨立性。

在x、y、z三項選擇值之間,假定選擇順序為x>y>z,那麼即使y選擇值已不復存在,剩下x和z的x>z的選擇關係仍舊不發生改變。

(4)條件4:公民主權

個人的選擇順序與社會結構無關,即社會中的每個人都能按各自的價值觀,自由地在備選對象中進行選擇。

(5)條件5:非獨裁

在全體成員中,當只有特定的個人選擇x>y,其餘人選擇xy。[④]

綜上所述,即所有五個條件都理應成為民主社會所具備。阿羅認為,如果同時承認前面兩個公理和該五個條件,就會促成投票的悖論效應。這就是阿羅不可能定理。

接下來,筆者舉一個簡單的例子來說明阿羅所謂兩個公理與民主社會的五個條件的矛盾性。

按照阿羅的理論,假設現在有七個人聚在一起準備去吃飯。這七個人對餐飲的偏好順序如下所示:

1號:中餐>西餐>日本餐

2號

3號日本餐>中餐>西餐

4號

5號

6號西餐>日本餐>中餐

7號

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由上可以看出,就中餐和西餐比較而言,1至4號喜歡中餐,5-7號喜歡西餐,故中餐以四比三的結果奪得優勢。再將西餐和日本餐相比較,則1號和5至7號喜歡西餐,2至4號喜歡日本餐,即西餐以四比三的結果奪得優勢。如果依照公理2的可遞性來看,西餐>日本餐,由於前面中餐>西餐,則中餐>日本餐。但是,若從七個人的選擇順序來看,主張中餐比日本餐好的只有1號,而其他人都認為日本餐比中餐好。問題尚不僅於此,按照可遞性,中餐將表現為社會選擇結果。在此情況下,只有1號的意見得到通過。這時,如果1號改變選擇順序,那麼與其相適應的社會結果將註定不以其他人的意志為轉移,而是以1號的選擇順序為轉移。

阿羅涉及的這個問題具有很大的代表性。阿羅闡釋了採取所謂多數表決的決定規則勢必會隨之出現獨裁現象。我們通常認為多數表決是促成民主主義的決定原則,但在現實中,它卻不曾起到這種作用。

就民主主義社會而言,阿羅所謂的基於多數表達原理的投票結果有時會導致投票的悖論效應,其觀點頗具有重要意義。阿羅認為,投票的悖論並非經常發生,而具有一定的偶然性。如果這種概率實在微乎其微的話,那麼阿羅不可能定理的意義就會黯然失色。對投票悖論產生的概率採取數學手段進行計算的是坎普布爾(C.Campbell)和塔洛克(G.Tullock)。

坎普布爾等人運用蒙特卡爾法來計算投票悖論產生的概率,並且指出,投票者數量或選擇值增加越多,產生悖論的可能性就越大。譬如,在投票者為3人,選擇值為3點的情況下,產生悖論效應的概率約為5.7%;當投票者增加至15人,選擇值增加至11點時,產生悖論效應的概率提高到50%。[⑤]也就是說,兩次投票中就有一次悖論現象出現。因而,對於每天都在頻繁進行著各種會議和集會的民主主義社會來講,決不可能對如此之高的比率掉以輕心。

此外,涅米和維斯伯格也大大地推進了坎普布爾等人的計算。他們指出,在投票者超過十人的情況下,以上投票悖論出現的概率基本無變化,而且選擇值的多少對悖論概率有相當大的影響。

可見,在這種情景下,利用少數服從多數的投票機制,將產生不出一個令所有人滿意的結論。

8 阿羅的不可能定理 -與中國發展的關係

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自由民主制度的辯護

當年阿羅提出不可能定理,這對於民主人士來說,幾乎是當頭一瓢冷水。有人聲稱,阿羅不可能定理對於投票制度的打擊類似於能量守恆定律對於永動機的打擊,是最根本和徹底的。在諾貝爾獎的授獎詞上,瑞典皇家科學院本茨爾教授承認,「這個結論在完全民主的夢想方面是非常令人失望的」。

我們有時在中文文獻中看到,有些作者根據阿羅不可能定理說上一番,然後就判定自由民主制度原來也怎麼怎麼不好,言下之意似乎全世界的各種政治制度,都不過爾爾。其實這是對阿羅不可能定理的極大誤解。事實上,阿羅不可能定理只是證明,不存在十全十美的集體選擇規則,但是在已有的選擇規則中,還是存在著優劣之別的。在理論上通過放寬阿羅不可能定理從而為自由民主制度辯護的大有人在,其中最著名者的證明路徑就是鄧肯·布萊克單峰偏好定理與安東尼·唐斯的中間投票人定理。

布萊克認為,阿羅不可能定理其中有一個很強的假設,就是偏好的無限制域(unrestricteddomain)。他認為,這在很大程度上不符合現實情況,現實情況是人們許多偏好構成了一個偏好單峰。所謂單峰偏好,就指多數人的偏好都傾向於其中一個備選方案。在這種情況下,多數規則就能夠導致一個穩定性的結果,從而克服了投票悖論。布萊克的意義於,他並未否認阿羅不可能定理在邏輯上成立,但在現實中否定了它的可行性。戈登·塔洛克認為,在現實世界中,投票者的個數總是大大超過供投票選擇的社會狀態的個數的。這時,出現投票悖論的概率是如此之小,以至於在實際上可以不考慮它。

從單峰偏好就可以推導出中間投票人定理。唐斯指出,在一個多數決策的模型中,如果個人偏好都是單峰的,則反映中間投票人意願的那種政策會最終獲勝,因為選擇該政策會使一個團體的福利損失最小(Downs,1957)。中間投票人定理與一個有關社會階層的假設相關,通常認為,中間投票人往往為擁有中間收入或財產的居民,也就是中間階級或者中產階級。在一個社會中的大多數為中產階級的情況下,社會偏好將向中產階級的意願靠攏。這將可讓多數規則發揮其作用,從而保證了社會的穩定。一個社會成員中產階級居於多數地位,那麼整個社會就越是不可能出現極端的選擇,就越不可能出現革命或者反革命。政治就越穩定,社會經濟生活也就越有條件理性化,而不是走向極端。中間投票人定理的另一個含義是:任何一個政黨或政治家,要想獲得極大量的選票,必須使自己的競選方案與綱領符合中間投票人的意願。就是說,他要贏得選舉的勝利,必須保持中庸。從現實情況看,美國兩黨競爭便為中間投票人定理做出了絕好註腳。

現在,我們看到,通過對其中一個條件的修正,阿羅不可能定理不再對多數規則的否定,而構成了對多數規則的證明。1998年,阿馬蒂亞·森在諾貝爾頒獎典禮上的演說中指出,阿羅不可能定理其實就是自由民主制度辯護的,這才是一語中的(Sen,2002)。對於西方國家的自由民主制度的辯護士來說,理論已經不存在困惑了。現在的問題是,我們如何將阿羅不可能定理與中國——這個堅持自己的民主制度的國家——對證呢?

9 阿羅的不可能定理 -參考資料

http://wiki.mbalib.com/wiki/%E9%98%BF%E7%BD%97%E7%9A%84%E

http://blog.sina.com.cn/s/blog_47fa5a6f010005qf.html

http://ks.cn.yahoo.com/question/1407032703490.html

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