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隨機積分,是對某些隨機過程類適當定義的各種積分的總稱。

1 隨機積分 -隨機積分

 

2 隨機積分 -正文

  對某些隨機過程類適當定義的各種積分的總稱。它們在隨機過程與隨機微分方程的研究和應用中各有其重要的作用。
  伊藤積分  這是對布朗運動定義的一種隨機積分。布朗運動的樣本函數雖然連續,但幾乎所有的樣本函數非有界變差,甚至處處不可微,因而無法按樣本函數來定義通常的黎曼-斯蒂爾傑斯積分(簡稱RS積分)或勒貝格-斯蒂爾傑斯積分(簡稱LS積分)。一般來說,RS積分定義中的達布和不會以概率1收斂到一定的極限,但在適當的條件下,達布和的均方極限存在。伊藤清正是利用這一性質定義了對布朗運動的隨機積分。設{隨機積分,tR+=【0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗運動W={W(t),tR+}是(隨機積分)鞅。如果樣本連續的有界隨機過程φ={φ(t),tR+}是(隨機積分)適應的,那麼當有限區間【α,b】嶅R+的分割隨機積分的直徑隨機積分趨於零時,達布和隨機積分的均方極限存在,記作隨機積分,它稱為φ在區間【α,b】上對W的伊藤積分。值得注意的是,在達布和的構造中,被積過程在【tk-1,tk】上的取值點不是隨意一點,而只能是它的左端點tk-1。這是一個嚴格的限制。完全不加限制時其極限不存在,如作其他的限制,則可能得到另外的極限,從而定義出另外的積分,但最有用的是這種限制。伊藤積分最重要的性質是著名的伊藤公式:設F是二次連續可微的實函數,則

隨機積分

這一公式及其各種推廣在理論上和應用上都有重要的作用。例如,可以用來證明關於布朗運動的鞅刻畫的萊維定理:一個從零出發的樣本連續過程W={W(t),tR+}為布朗運動的充要條件,是W和{W2(t)-t,tR+}都為鞅。
  對平方可積鞅的隨機積分  使E隨機積分的鞅x={x(t),tR+}稱為平方可積鞅,其中x(∞)是當t→∞時,x(t)以概率1 收斂的極限。對一個平方可積鞅x, -x2是類(D)上鞅,因此根據上鞅分解定理,x2可惟一地表成一致可積鞅M和可料增過程A之和,X2(t)=M(t)+A(t)。由此,對任何樣本連續的有界適應過程φ,當[αb)]的分割隨機積分的直徑δ(墹)趨於零時,達布和隨機積分的均方極限存在,這個極限就稱為φ在【α,b)】上對x的隨機積分隨機積分。這種積分也有相應的伊藤公式:對二次連續可微的函數F

隨機積分

右邊最後一項是按軌道的LS積分,可料增過程A的軌道是右連續增函數。這種隨機積分還可以進一步推廣到對局部鞅以至半鞅的積分。
  斯特拉托諾維奇積分  在伊藤積分定義的達布和中,如果用在小區間【tk-1,tk】中點的被積過程值φ隨機積分(或者等價地, 用在兩個區間端點的過程值的算術平均隨機積分隨機積分代替左端點的過程值φ(tk-1),則均方極限也存在,但此極限與伊藤積分不相同,它定義了用斯特拉托諾維奇命名的另一種積分,記作隨機積分這種積分的一個優點是,對一個三次連續可微的函數F

隨機積分,

它保持了普通微積分中牛頓-萊布尼茨公式的形式。
  其他類型的隨機積分  常見的還有均方隨機積分和對正交增量過程的積分。對一個均方連續的隨機過程x,即對一切t0R+滿足隨機積分x,達布和隨機積分的均方極限存在,它定義了x在區間【α,b)】上的均方隨機積分,記作隨機積分其中隨機積分隨機積分是【α,b】的分割,sk可在【tk-1,tk】上任取,均方極限是在δ(墹)趨於零的條件下取的。設Z 是一個正交增量過程,即對一切隨機積分隨機積分隨機積分那麼對任一[αb]上的連續函數ƒ,達布和隨機積分的均方極限定義了ƒ在[α,b]上對Z的積分,記作隨機積分。這種對正交增量過程積分的最重要的應用是寬平穩過程的譜表示(見平穩過程)。
  隨機微分方程  形如隨機積分隨機積分的方程稱為伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x)是一次連續可微的二元函數,W是布朗運動,X是待求的半鞅。由於形式上還可以將方程改寫為 dxt)=α(t,x(t))dt+σ(t,x(t))dW(t)這種微分表示,習慣上常稱為(伊藤)隨機微分方程。理論上對它已有很多研究,解的存在惟一性問題已經解決,並且有各種形式的推廣,如用半鞅代替布朗運動等。但能把解明確表達出來的還只有少數簡單的特例,如對x(0)=1,α(s,x)呏0,σ(s,x)呏x,方程隨機積分有惟一解

隨機積分

它是一個樣本連續鞅。
  此外,對於均值函數為零的實二階過程x(見隨機過程),可定義其各階均方導數。若x的協方差函數 Г(s,t)=Ex(s)x(t)二次連續可微,則差商【x(tt)-x(t)】/Δt當 Δt→0 時的均方極限總存在,它定義了x的一階均方導數隨機積分。一般地,若 Г(s,t)2n次連續可微,則xn階均方導數存在。聯繫著一個二階過程x及其各階均方導數之間的方程,如

隨機積分

等,稱為均方隨機微分方程。求解它,就是要找出滿足該關係式的二階過程x。例如隨機積分在初值x(0)=ξ下的惟一解是隨機積分其中α是實常數,ξ為已知的隨機變數,Y為已知的均方連續隨機過程,而積分是均方隨機積分。
  參考書目
 J.L.Doob,Stochastic Processes,John Wiley & Sons.New York, 1953.
 嚴加安編著:《鞅與隨機積分引論》,上海科學技術出版社,上海,1981。

 

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