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隨機變數(random variable),名詞。表示隨機現象(在一定條件下,並不總是出現相同結果的現象稱為隨機現象)各種結果的變數(一切可能的樣本點)。例如某一時間內公共汽車站等車乘客人數,電話交換台在一定時間內收到的呼叫次數等等,都是隨機變數的實例。

1 隨機變數 -隨機變數

 

2 隨機變數 -正文

  隨機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數,電話交換台在一定時間內收到的呼叫次數,隨機抽查的一個人的身高,懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移,等等,都是隨機變數的實例。
  一個隨機試驗的可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。隨機變數x是定義於Ω上的函數,即對每一基本事件ωΩ,有一數值x(ω)與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例,它的所有可能結果見隨機變數,共6個,分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時,Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變數x,就是Ω上的函數x(ωk)=kk=1,2,…,6。又如設Ω={ω1,ω2,…,ωn}是要進行抽查的n個人的全體,那麼隨意抽查其中一人的身高和體重,就構成兩個隨機變數xY,它們分別是Ω上的函數:x(ωk)=「ωk的身高」,Y(ωk)=「ωk的體重」,k=1,2,…,n。一般說來,一個隨機變數所取的值可以是離散的(如擲一顆骰子的點數只取1到6的整數,電話台收到的呼叫次數只取非負整數),也可以充滿一個數值區間,或整個實數軸(如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移)。
  在研究隨機變數的性質時,確定和計算它取某個數值或落入某個數值區間內的概率是特別重要的。因此,隨機變數取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合,應當屬於所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法,利用概率論公理化的語言,取實數值的隨機變數的數學定義可確切地表述如下:概率空間(Ω,F,p)上的隨機變數x是定義於Ω上的實值可測函數,即對任意ωΩx(ω)為實數,且對任意實數x,使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件,也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常簡記作{xx},並稱函數F(x)=p(xx),-∞<x<∞ ,為x的分佈函數。
  設x,Y是概率空間(Ω,F,p)上的兩個隨機變數,如果除去一個零概率事件外,x(ω)與Y(ω)相同,則稱x=Y以概率1成立,也記作p(X=Y)=1或X=Y,α.s.(α.s.意即幾乎必然)。
  有些隨機現象需要同時用多個隨機變數來描述。例如對地面目標射擊,彈著點的位置需要兩個坐標才能確定,因此研究它要同時考慮兩個隨機變數,一般稱同一概率空間(Ω,F,p)上的n個隨機變數構成的n維向量X=(x1,x2,…,xn)為n維隨機向量。隨機變數可以看作一維隨機向量。稱nx1,x2,…,xn的函數

隨機變數

X的(聯合)分佈函數。又如果(x1,x2)為二維隨機向量,則稱x1+ix2(i2=-1)為復隨機變數。
  隨機變數的獨立性  獨立性是概率論所獨有的一個重要概念。設x1,x2,…,xnn個隨機變數,如果對任何n個實數x1,x2,…,xn都有

隨機變數

即它們的聯合分佈函數F(x1,x2,…,xn)等於它們各自的分佈函數F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)的乘積,即

隨機變數

則稱x1x2,…,xn是獨立的。這一定義可以直接推廣到每一xk(k=1,2,…,n)是隨機向量的情形。獨立性的直觀意義是:x1,x2,…,xn中的任何一個取值的概率規律,並不隨其中的其他隨機變數取什麼值而改變。在實際問題中通常用它來表徵多個獨立操作的隨機試驗結果或多種有獨立來源的隨機因素的概率特性,因此它對於概率統計的應用是十分重要的。
  從隨機變數(或向量)x1x2,…,xn的獨立性還可以推出:設Bkxk取值的空間中的任意波萊爾集,k=1,2,…,n,則有

隨機變數

  設x1,x2,…,xn是獨立的,則它們中的任意個都是獨立的。但逆之即使其中任何n-1個是獨立的,也不保證x1,x2,…,xn是獨立的。又如果ƒj(x),i=1,2,…,n,是n個連續函數或初等函數(或更一般的波萊爾可測函數),則從x1,x2,…,xn的獨立性可推出ƒ1(x1),ƒ2(x2),…,ƒn(xn)也獨立。如果隨機變數(隨機向量)序列x1,x2,…,xn,…中任何有限個都獨立,則稱之為獨立隨機變數(隨機向量)序列。
  關於隨機變數的矩、特徵函數、母函數及半不變數,分別見數學期望、方差、矩及概率分佈。

 

3 隨機變數 -配圖

 

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