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如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數,那麼稱這種方式表示的函數是隱函數。而函數就是指:在某一變化過程中,兩個變數x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函數。這種關係一般用y=f(x)即顯函數來表示。f(x,y)=0即隱函數是相對於顯函數來說的。

1定義

設F(x,y)是某個定義域上的函數。如果存在定義域上的子集D,使得對每個x屬於D,存在唯一的y滿足F(x,y)=0,則稱方程確定了一個隱函數。記為y=y(x)顯函數是用y=f(x)來表示的函數,顯函數是相對於隱函數來說的。

2求導法則

對於一個已經確定存在且可導的情況下,我們可以用複合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導,由於y其實是x的一個函數,所以可以直接得到帶有 y' 的一個方程,然後化簡得到 y' 的表達式。
隱函數導數的求解一般可以採用以下方法:
先把隱函數轉化成顯函數,再利用顯函數求導的方法求導;隱函數左右兩邊對x求導(但要注意把y看作x的函數); 利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導,再通過移項求得的值; 把n元隱函數看作(n+1)元函數,通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。舉個例子,若欲求z = f(x,y)的導數,那麼可以將原隱函數通過移項化為f(x,y,z) = 0的形式,然後通過(式中F'yF'x分別表示y和x對z的偏導數)來求解。

3推理過程

一個函數y=ƒ(x),隱含在給定的方程
(1)
隱函數

  隱函數

中,作為這方程的一個解(函數)。例如
給出
隱函數

  隱函數

如果不限定函數連續,則式中正負號可以隨x而變,因而有無窮個解;如果限定連續,則只有兩個解(一個恆取正號,一個恆取負號);如果限定可微,則要排除x=±1,因而函數的定義域應是開區間(-1<x<1),但仍然有兩個解;如果還限定在適合原方程的一個點(x,y)=(x0,y0)的鄰近範圍內,則只有一個惟一的解(當起點(x0,y0)在上半平面時取正號,在下半平面時取負號)。
微分學中主要考慮函數z=F(xy)與y=ƒ(x)都連續可微的情形。這時可以利用複合函數的微分法對方程(1)直接進行微分:
隱函數

  隱函數

(2)
可見,即使在隱函數y=ƒ(x)難於解出的情形,也能夠直接算出它的導數,惟
一的條件是
隱函數

  隱函數

(3)
隱函數理論的基本問題就是,在適合原方程(1)的一個點的鄰近範圍內,在函數F(x,y)連續可微的前提下,什麼樣的附加條件能使得原方程(1)確定一個惟一的函數y=ƒ(x),不僅單值連續,而且連續可微,其導數由(2)完全確定。隱函數存在定理就在於斷定(3)就是這樣的一個條件,不僅必要,而且充分。
這個結果能夠推廣到方程組
隱函數

  隱函數

相當於(2)的微分式給出相當於(3)的條件
隱函數

  隱函數

4隱函數的導數

設方 程P(x, y)=0確定y是x的函數, 並且可導. 現在可以利用複合函數求導公式可求出隱函數y對x的導數.
例1 方程 x2+y2-r 2=0確定了一個以x為自變數, 以y為因變數的數, 為了求y對x的導數, 將上式兩邊逐項對x求導, 並將y2看作x的複合函數, 則有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2yy『=0,
於是得 .
從上例可以看到, 在等式兩邊逐項對自變數求導數, 即可得到一個包含y『的一次方程, 解出y&cent;, 即為隱函數的導數.
例2 求由方程y2=2px所確定的隱函數y=f(x)的導數.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
2yy』=2p,
解出y『即得
.
例3 求由方程y=x ln y所確定的隱函數y=f(x)的導數.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
y&cent;=ln y+x× ×y』 解出y『;即得 .
例4 由方程x2+x y+y2=4確定y是x的函數, 求其曲線上點(2, -2)處的切線方程.
解: 將方程兩邊同時對x求導, 得
2x+y+x y』+2y y=0,
解出y『即得
.
所求切線的斜率為
k=y』 x=2,y=-2=1,
於是所求切線為
y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.
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