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在數學中,雙曲函數類似於常見的(也叫圓函數的)三角函數。基本雙曲函數是雙曲正弦「sinh」,雙曲餘弦「cosh」,從它們導出雙曲正切「tanh」等。也類似於三角函數的推導。反函數是反雙曲正弦「arsinh」(也叫做「arcsinh」或「asinh」)以次類推

1定義

雙曲函數(hyperbolic function)可藉助指數函數定義
Sinh_cosh_tanh

  Sinh_cosh_tanh

雙曲正弦
sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴
雙曲餘弦
ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵
雙曲正切
th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶
雙曲餘切
cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷
雙曲正割
sch z =1/ch z ⑸
雙曲餘割
xh(z) =1/sh z ⑹
其中,指數函數(exponential
Csch_sech_coth

  Csch_sech_coth

function)可由無窮級數定義
e^z=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+… ⑺
雙曲函數的反函數(inverse hyperbolic function)分別記為ar sh z、ar ch z、ar th z等。

2介紹

在數學中,雙曲函數類似於常見的三角函數(也叫圓函數)。基本雙曲函數是雙曲正弦「sinh」,雙曲餘弦「cosh」,從它們導出雙曲正切「tanh」等。也類似於三角函數的推導。反函數是反雙曲正弦「arsinh」(也叫做「arcsinh」或「asinh」)以此類推。
雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中,譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。
雙曲函數接受實數值作為叫做雙曲角的自變數。在複分析中,它們簡單的是指數函數的有理函數,並因此是完整的。
雙曲函數
射線出原點交雙曲線 x^2 - y^2 = 1 於點 (cosh a,sinh a),這裡的a被稱為雙曲角,是這條射線、它關於x軸的鏡像和雙曲線之間的面積。定義
雙曲函數(Hyperbolic Function)包括下列六種函數:
sinh / 雙曲正弦:sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 雙曲餘弦:cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 雙曲正切:tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 雙曲餘切:coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 雙曲正割:sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 雙曲餘割:csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中,
e是自然對數的底
e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...
e^x 表示 e的x次冪,展開成無窮冪級數是:
e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...
如同點 (cost,sint) 定義一個圓,點 (cosh t,sinh t) 定義了右半直角雙曲線x^2 y^2 = 1。這基於了很容易驗證的恆等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性質 t > 0 對於所有的 t。
參數 t 不是圓角而是雙曲角,它表示在 x 軸和連接原點和雙曲線上的點 (cosh t,sinh t) 的直線之間的面積的兩倍。
函數 cosh x 是關於 y 軸對稱的偶函數。
函數 sinh x 是奇函數,就是說 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
定義
雙曲正弦:sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2
雙曲餘弦:ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
反雙曲函數
反雙曲函數是雙曲函數的反函數. 它們的定義為:
arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]
arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1)]
arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2
arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2
arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2) / x]
arcxh(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2) / x],如果 x < 0
ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x],如果 x > 0
其中,
sqrt 為 square root 的縮寫,即平方根

3三角函數

雙曲函數與三角函數有如下的關係:
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 為虛數單位,即 i * i = -1

4恆等式

與雙曲函數有關的恆等式如下:
ch^2(x) - sh^2(x) =1
cth^2(x) - xh^2(x)=1
th^2(x) + sch^2(x)=1
減法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
半形公式
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
tanh(x / 2) = (cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)
coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)
德 莫佛公式
(cosh(x)±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)
雙曲函數的恆等式都在圓三角函數有相應的公式。Osborn's rule指出:將圓三角函數恆等式中,圓函數轉成相應的雙曲函數,有兩個sinh的積時(包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y))則轉換正負號,則可得到相應的雙曲函數恆等式。如
阻尼落體
在空氣中由靜止開始下落的小石塊既受重力的作用又受到阻力的作用。設小石塊的質量為m,速度為v,重力加速度為g,所受空氣阻力假定與v2正比,阻尼係數為μ。設初始時刻小石塊靜止。求其小石塊運動速度與時間的關係。
解:
小石塊遵循的運動方程為
mdv/dt=mg―μv2 ⑻
這是Riccati方程,它可以精確求解。
依標準變換方式,設
v=(m/μ)(z′/z) ⑼
代入⑻式,再作化簡,有
z'' ―(gμ /m)z=0 ⑽
⑽式的通解是
z=C1exp(√gμ /m t)+ C2exp(-√gμ /m t) ⑾
其中,C1和C2是任意常數。
由於小石塊在初始時刻是靜止的,初始條件為
v(0)=0 ⑿
這等價於
z′(0)=0 ⒀
因此,容易定出
C2=-C1 ⒁
將⒁式代入⑾式,再將⑾式代入⑼式,就可得
滿足初始條件的解
v=√mg/μ tanh(√μg/m t) ⒂
我們可以作一下定性的分析。小石塊初始時刻靜止。因此,隨著時間增加,開始時小石塊速度較小,小石塊所受的阻力影響較小,此時,小石塊與不受阻力的自由落體運動情況相類似,小石塊加速度幾乎是常數。反映在圖1中,起始段t和v的關係是直線。當小石塊速度很大時,重力相對於阻力來說可以忽略,阻力快速增加到很大的數值,導致小石塊的速度幾乎不再增加。此時,小石塊加速度接近零,v幾乎不隨時間而變化。從圖1中可以看到,一段時間后,v相不多是一平行於t軸的直線。
粒子運動
一電荷量為q、靜質量為m0的粒子從原點出發,在一均勻電場E中運動,E=Eez沿z軸方向,粒子的初速度沿y軸方向,試證明此粒子的軌跡為
x=(W0/qE)[cosh(qEy/p0c)―1] (42)
式中p0是粒子出發時動量的值,W0是它出發時的能量。
解:
帶有電荷量q的粒子在電磁場E和B中的相對論性的運動方程為
dp/dt=q(E+v×B) (43)
式中v是粒子的速度,p是粒子的動量
p=mv=mv0/√1-v2/c2 (44)
本題運動方程的分量表示式為
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 (45)
解之,有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 (46)
代入t=0時初始條件
px(0)=0
py(0)= p0
pz(0)= 0 (47)
定出積分常數后,可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 (48)
粒子的能量為
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√(px2+ py2+ pz2)c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 (49)
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 (50)
積分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 -W02]/qE (51)
又由(48)式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 (52)
積分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=(p0c /qE)arsh(qEct/W0) (53)
或 (qEct/W0)= sinh (qEy/ p0c) (54)
在(51)式和(54)式中消去t,有
x=(W0/qE)[√1+ sinh2(qEy/ p0c)-1 ] (55)
利用恆等變換公式
cosh2x―sinh2x=1 (56)
(55)式可以寫成
x=(W0/qE)[cosh2(qEy/ p0c)-1 ] (57)
(57)式是一種懸鏈線。
圖3:勻強電場中粒子的懸鏈線運動軌跡
討論:
因雙曲餘弦泰勒級數展開式是
cosh(x)=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… (58)
當v/c →0時,保留前2項,得
x=(qE/2m v02)y2 (59)
(59)式是拋物線軌跡。《普通物理學》教材用經典牛頓力學求解,普遍會給有這個結果。這表示,非相對論確是相對論在v/c →0時的極限。或者說,(59)式成立的條件是v/c<<1,這也是牛頓力學的適用範圍。
懸鏈線
形如y=a cosh(x/a)(a為常數)的函數的圖象又叫懸鏈線,可以由柔軟的繩子得到,有點象拋物線,但其實兩者差距很大.據說萊布尼茲(Leibniz)於1690年最先解出懸鏈線方程,惠更斯(Huygens)和伯努利兄弟(Jacob Bernoulli,Johann Bernoulli)隨其後.惠更斯在1691年把懸鏈線命名為catenary. 懸鏈線與拋物線有這樣的關係:懸鏈線是直線上滾動的拋物線的焦點的運動軌跡.懸鏈線的頂點的漸開線是曳物線(tractrix).這條曳物線的漸進線稱為懸鏈線的準線,懸鏈線繞準線旋轉形成的曲面叫做懸鏈面.

數學證明

設最低點A處受水平向左的拉力H,右懸挂點處表示為C點,在AC弧線區段任意取一段設為B點,則B受一個斜向上的拉力T,設T和水平方向夾角為θ,繩子的質量為m,受力分析有: Tsinθ=mg;  Tcosθ=H,  tanθ=dy/dx=mg/H,  mg=ρs,, 其中s是右段AB繩子的長度,ρ是繩子線重量密度,代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧長公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;  所以把s帶入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....⑴  對於⑴設p=dy/dx微分處理  得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......⑵  p'=dp/dx;  對⑵分離常量求積分  ∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx  得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C,即asinhp(反雙曲正弦)=ρx/H+C  當x=0時,dy/dx=p=0;帶入得C=0;  整理得asinhp=ρx/H 另祥解:(ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H);  p=sh(ρx/H) (1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2);  (p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx);  y=ch (ρx/H)* H / ρ (y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)]);  令a=H/ρ:y=a*cosh (x/a)  (y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/⑵= a*cosh(x/a))。

5參考文獻

1、林旋英、張之翔,《電動力學題解》,科學出版社,1999年第一版。
2、呂克璞、石玉仁等,《物理學報》,50(2001)2074。

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