評論(0

雙曲型偏微分方程

標籤:微積分解析幾何方程

雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現象的一類重要的偏微分方程。

1定義

雙曲型偏微分方程(Hyperbolic partial differential equations):描述振動或波動現象的偏微分方程。它的一個典型特例是波動方程和n=1時的波動方程。可用來描述弦的微小橫振動,稱為弦振動方程。這是最早得到系統研究的一個偏微分方程。

2波動方程

對於一個標量quantity u的波動方程的一般形式是:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u
這裡c通常是一個固定常數,也就是波的傳播速率(對於空氣中的聲波大約是330米/秒,參看音速)。對於弦的振動,這可以有很大的變化範圍:在螺旋彈簧上(slinky),它可以慢到1米/秒。但若c作為波長的函數改變,它應該用相速度代替:
v_\mathrm = \frac{\omega}.
注意波可能疊加到另外的運動上(例如聲波的傳播在氣流之類的移動媒介中)。那種情況下,標量u會包含一個馬赫因子(對於沿著流運動的波為正,對於反射波為負)。
u = u(x,t),是振幅,在特定位置x和特定時間t的波強度的一個測量。對於空氣中的聲波就是局部氣壓,對於振動弦就使從靜止位置的位移。\nabla^2 是相對於位置變數x的拉普拉斯運算元。注意u可能是一個標量或向量。
對於一維標量波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的:u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G為任意函數,分別對應於前進行波,和後退行波。要決定F和G必須考慮兩個初始條件:
u(x,0)=f(x)
u_{,t}(x,0)=g(x)
這樣達朗貝爾公式變成了:
u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \frac \int_^{x+ct} g(s) ds
在經典的意義下,如果f(x) \in C^k並且g(x) \in C^則u(t,x) \in C^k.
一維情況的波動方程可以用如下方法推導:想象一個質量為m的小質點的隊列,互相用長度h的彈簧連接。彈簧的硬度為k :
這裡u (x)測量位於x的質點偏離平衡位置的距離。對於位於x+h的質點的運動方程是:
m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= kLINK
其中u(x)的時間依賴性變成顯式的了。

3偏微分方程

起源
微積分方程這門學科產生於十八世紀,歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程,隨後不久,法國數學家達朗貝爾也在他的著作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年,達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中,提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·貝努利也研究了數學物理方面的問題,提出了解彈性系振動問題的一般方法,對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程,豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀,那時候,數學物理問題的研究繁榮起來了,許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這裡應該提一提法國數學家傅立葉,他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中,寫出了《熱的解析理論》,在文章中他提出了三維空間的熱方程,也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
特徵超曲面及次特徵線
在求解雙曲型方程或研究其解的性質時,特徵超曲面及次特徵線起著重要的作用。一個超曲面S:φ(t,x)=0,如果在其上成立
如果在其上成立

  如果在其上成立

就稱它是方程(4)的一個特徵超曲面。對於雙曲型方程,任一特徵超曲面均由次特徵線組成,而次特徵線t=t(τ),x=x(τ)由下述常微分方程組
下述常微分方程組

  下述常微分方程組

滿足附加條件(5)的解所給出。由過一點p(t0,x0)的一切次特徵線所構成的特徵超曲面,稱為以p為頂點的特徵劈錐面,連同其內部稱為特徵劈錐體,它們由位於tt0及tt0的前向及後向兩部分組成。過p點指向此劈錐面內部的任一方向,稱為此點的類時方向;一個處處和類時方向相切的曲線稱為類時曲線。以P為頂點的特徵劈錐面內部的任一點,都可用類時曲線與p點相連。在p點將劈錐的前後兩部分隔開來的任一超曲面元素,稱為類空元素;處處和類空元素相切的超曲面稱為類空超曲面。對方程(4),超平面t為常數就是一個類空超曲面。對波動方程(1),次特徵線都是直線,而以p(t0,x0)為頂點的特徵劈錐面就是特徵錐面.
此時t軸恰為一個類時曲線。在方程(4)的主部的係數有界時,以任何點為頂點的特徵劈錐面,都可包含在以此點為頂點的一個固定大小的圓錐中。解的弱間斷面一定是特徵超曲面,因此,在波的傳播中,特徵超曲面可用來表示波前,即作為已受擾動與未受擾動的區域的分界面,而任何擾動都沿著次特徵線傳播。這裡,擾動沿次特徵線傳播的性質,充分體現了一般情形下線性偏微分方程的解的奇性傳播的特點。在光學中,次特徵線就是光線,沿著它們積分一些常微分方程,在高頻振動的情況下,可得到精確解的漸近展開式。這一方法稱為幾何光學近似。它將波動光學和幾何光學聯繫起來,並為傅里葉積分運算元提供了一個雛型。
對雙曲型方程(4),常見的定解問題是柯西問題或稱初值問題:求方程(4)在t>0時的解u=u(t,x),使它滿足如下的初始條件t=0:  u=u0(x),
初始條件

  初始條件

式中u0(x)及u1(x)為給定的適當光滑的函數。一般地說,柯西問題的初始資料可以給在任一類空超曲面上。對於正規雙曲型方程,其柯西問題是在阿達馬意義下適定的,即其解存在、惟一併以某種方式連續地依賴於初始資料。不僅如此,柯西問題(4)、(6)的解u在一點p(t0,x0)(t0>0)之值,只依賴於以p點為頂點的後向特徵劈錐體與初始超平面t=0交截所得的區域Gp上的初始資料,而和Gp外的初始資料無關。Gp稱為點p的依賴區域。依賴區域的有界性反映了波動以有限速度傳播的事實,是雙曲型方程所具有的一個本質的特點。相應地,初始資料在t=0上一點p0的一個鄰域中的擾動,僅影響到解在以p0為頂點的前向特徵劈錐體的一個鄰域中的數值。這個前向特徵劈錐體稱為p0點的影響區域。在特殊的情形下(例如對n>1為奇數時的波動方程(1)),解up(t0,x0)點的值僅依賴於初始資料在Gp的邊界的一個任意小的鄰域中的值,而p0 點的影響區域僅是過 p0點的前向特徵劈錐面。此時,波的傳播有清晰的陣面,不會出現波的彌散,稱為成立惠更斯原理。對n為偶數的波動方程(1),惠更斯原理不成立。然而,不論在哪一種情形,由於解的奇性(不連續性)沿著次特徵線傳播,在t=0上一點p0處初始資料的奇性僅通過以p0為頂點的前向特徵劈錐面傳播出去,或者說,解在p(t0,x0)點的光滑性僅依賴於初始資料在Gp邊界的一個任意小的鄰域中的光滑性。這個事實,稱為廣義的惠更斯原理。
混合初-邊值問題
除柯西問題外,另一類重要的定解問題是混合初-邊值問題,簡稱混合問題,即要求方程(4)的一個解u(t,x),使它在x空間的一個區域的邊界上滿足給定的邊界條件,並在此區域上滿足t=0時的初始條件。在研究波的反射、干擾或有界彈性體的振動等問題時,就會自然地提出這類問題。二階雙曲型方程(4)帶常見邊界條件的混合問題也是在阿達馬意義下適定的。在n=1的情形,對二階雙曲型方程的柯西問題及混合問題都可以利用黎曼函數方法求解。
對於高階的方程或方程組,其雙曲型的定義同樣是和柯西問題的適定性密切聯繫在一起的,甚至可以用保證柯西問題為適定的要求來作為雙曲型的定義。在常係數的情形,已為L.戈爾丁所詳細分析,並給出了此時方程中的係數所應滿足的代數條件,但由於該定義涉及到方程中非主部的係數,難以推廣到變係數的情形。在一般的情況下,有意義的是給出方程中的係數所滿足的一些代數條件,使能保證柯西問題的適定性,並適用於相當廣泛的場合。下面是最常見和重要的兩種情形。
上一篇[錐型流]    下一篇 [何新民]

相關評論

同義詞:暫無同義詞