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雙曲線(Hyperbola),是指一動點移動於一個平面上,與平面上兩個定點的距離的差的絕對值始終為一定值時所成的軌跡叫做雙曲線。\n方程:X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)

 數學上指一動點移動於一個平面上,與平面上兩個定點的距離的差的絕對值始終為一定值時所成的軌跡叫做雙

雙曲線雙曲線
曲線(hyperbola)。兩個定點叫做雙曲線的焦點(focus)。定值稱為2a。

1 雙曲線 -第二定義

平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數。定點是雙曲線的焦點,定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率。
  ❤注意:定點要在直線外;比值大於1
  ❤雙曲線的標準方程為(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
  ❤其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,動點與兩個定點距離之差的絕對值為定值2a

2 雙曲線 -幾何性質

(1)範圍
由標準方程 ,可得x2≥a2,當|x|≥a時,y才有實數值;對於y的任何值,x都有實數值.要講情在x=-a,x=a之沒有圖象,當x的絕對值無限增大時,y的絕對值也無限增大,所以曲線是無限伸展的,不像橢圓那樣是封閉曲線.
(2)頂點
雙曲線 有兩個頂點(a,0),(-a,0).令x=0時,方程y2=-b2無實數根,所以它與y軸無交點,2b是雙曲線的虛軸的長.

(3)對稱性
雙曲線的對稱性與橢圓完全相同,可逐一提問,讓學生回答雙曲線的對稱性,並說明原因.
(4)漸近線
對圓錐曲線來說,這是雙曲線特有的性質.在遠離雙曲線的中心時,雙曲線的漸近線幾乎成為雙曲線的「代表」,「雙曲線是直線?」在徒手畫雙曲線時雙曲線的漸近線指導意義更為突出.
若曲線上某一點到某條直線的距離為d,當點趨向於無窮遠時,d能趨近於0,則這條直線稱為該曲線的漸近線.
首先可以看到,由雙曲線的標準方程解出
y=±  =± x ,
當x無限增大時, 趨向於0,也就是說,這時雙曲線y=±  與直線y=± x無限接近.這使我們有理由猜想直線y=± x為雙曲線的漸近線.至於在第一象限內,當x無限增大時,雙曲線上的點M(x,y)到直線y=± x的距離是否趨向於0。
如圖,設點M到直線y=± x 的距離為|MQ|,在Rt△MQN中,若斜邊的長趨近於0,當然直角邊的長也趨近於0,所以當|MN|→0時,立刻可得|MQ|→0,這就證明了當x無限增大時,點M到直線y=± x的距離趨近於0.                
(5)離心率
與橢圓一樣,我們把比值e= 叫做雙曲線的離心率,橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數據,雙曲線的離心率是描述雙曲線「張口」大小的一個重要數據.由於上 = ,當e的值從接近於 1逐漸增大時, 的值就從接近於 0逐漸增大,這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊,就是說雙曲線的「張口」逐漸增大.

3 雙曲線 -標準公式

X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)
  而反比例函數的標準型是xy=c(c≠0)
  但是反比例函數確實是雙曲線函數經過旋轉得到的
  因為xy=c的對稱軸是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的對稱軸是x=0,y=0
  所以應該旋轉45度
  設旋轉的角度為a(a≠0,順時針)
  (a為雙曲線漸進線的傾斜角)
  則有
  X=xcosa+ysina
  Y=-xsina+ycosa
  取a=π/4
  則
  X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2
  =(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2
  =4(√2/2x)(√2/2y)
  =2xy.
  而xy=c
  所以
  X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)
  Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)
  由此證得,反比例函數其實就是雙曲線函數

4 雙曲線 -相關詞條

橢圓,漸近線

5 雙曲線 -參考資料

http://www.baidu.com/s?wd=%CB%AB%C7%FA%CF%DF%B5%C4%BC%B8%BA%CE%D0%D4%D6%CA&tn=laiyiba_pg&bar=

 

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