1雙曲複數定義

雙曲複數
考慮數z = x + jy,其中x,y是實數,而量j不是實數,但j2是實數。
選取j2 = − 1,得到一般複數。取 + 1的話,便得到雙曲複數。
定義雙曲複數的加法和乘法如下,使之符合交換律、結合律和分配律:
(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v)
(x + jy)(u + jv) = (x + jy)(u) + (x + jy)(jv) = xu + jyu + jxv + j2yv = (xu + yv) + j(xv + yu)

2共軛、范數

對於z = x + jy,其共軛值z * = x − jy。對於任何雙曲複數z,w,
(z + w) * = z * + w *
(zw) * = z * w *
(z * ) * = z
可見它是自同構的。
定義內積為 。若 ,說z,w(雙曲)正交。
雙曲複數的平方范數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基范數):
這個范數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變,。

3除法

除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。
雙曲複數可逆當且僅當其平方范數非零。
雙曲複數有哪些冪等元?
列方程(x + jy)2 = (x2 + y2) + 2xyj。有四個解:1,0,s = (1 − j) / 2,s * = (1 + j) / 2。
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s * 。
若將z = ae + be * 表示成(a,b),雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此,在這個基里,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。
共軛可表示為(a,b) * = (b,a)。

5幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐幾理德平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。
在R,對於非零的a,點集 是雙曲線。左邊和右邊的會經過a和 − a。a = 1稱為單位雙曲線。
共軛雙曲線是 ,會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。
歐拉公式的相應版本是ejθ = cosh(θ) + jsinh(θ)。

6歷史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。
20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論的洛侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。——lp  
上一篇[姜清]    下一篇 [超限數]

相關評論

同義詞:暫無同義詞