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數學中利用現代數理邏輯把通常實數結構擴張為包括無窮小數與無窮大數的結構而形成的一個新分支。

1簡介

非標準分析
non-standard analysis
美國數理邏輯學家A.魯賓遜於1960年創立。魯賓遜證明,實數結構R可擴張為包含無窮小數和無窮大數的結構R*,在一定意義下R*與R有相同的性質。稱R*中的數為超實數,形象地說,是在普通實數中又加進了無窮小數(其絕對值小於任何實數)及無窮大數(其絕對值大於任何實數)。當兩個超實數α與β相差為無窮小時,就稱α無限接近於β,記為α≈β ,這是一個等價關係。每個關於這個等價關係的等價類包含唯一的標準實數a。稱a所在的等價類μ( a)為一個單子,單子不是R*中的數,而相當於R中的數,超實數可以進行四則運算,滿足通常的運算規律,也可以有大小順序。由此標準分析里的許多概念、定理等可以自然地擴張到非標準分析中。如區間〔a,b〕擴張為〔a,b〕*,R中的函數擴張為f(x)*,函數f(x)在標準點x0連續可定義為x≈x0時,f(x)≈* f(x0)*;函數f(x)在〔a,b〕上一致連續可定義為當x′≈x″,x′,x″∈〔a,b〕*時f(x′)*≈f(x″)*。像這樣在R上展開的數學分析理論稱為非標準分析,通常的數學分析則稱為標準分析。
非標準分析

  非標準分析

非標準分析的一個重要定理是轉換定理:每個關於R可形式化的命題,如果對R成立,則經過適當解釋(即把R中的對象解釋為R*中相應的對象 )對R*也成立,反之亦然。因此也可以說,利用R和R*互相轉換來研究數學分析的方法,稱為非標準分析。
非標準分析使無窮小獲得新生。在微積分發明的時期,I.牛頓,特別是G.W.萊布尼茲使用無窮小方法,在一階和高階無窮小基礎上,發展起微積分理論。因它不嚴格而倍遭非難。A.L.柯西和K.魏爾斯特拉斯等使微積分奠基於極限理論上,數學分析由此臻於嚴密但失去了無窮小演算法的簡明與直觀。魯賓遜用數理邏輯方法嚴謹地論證了無窮小的存在性,重新用它來刻畫微積分。這不僅能表現狀態,還能表明過程,直觀而簡潔。非標準分析一經問世便得到迅速發展,並用它解決了許多問題。從方法論上來說,還能將過去一些深刻結果的證明加以簡化。

2發展

非標準分析發展很快,已有群論、非標準泛函分析等。它有不少應用。凡是對某類數學對象,用類似於上述的擴張來研究的都可稱為非標準分析。

3歷史

在17世紀微積分學的初創時期,人們就注意到這門學科的基礎問題。I.牛頓和萊布尼茨都曾使用過無窮小,尤其是萊布尼茨及其跟隨者,在一階和高階無窮小的基礎上,發展了微積分理論;他們完全允許引進無窮小和無窮大,而且把它們看做是類似於虛數的理想元素,這些理想元素服從於普通實數的定律。他們所用的記號,在歐洲大陸上被廣泛採用。這些記號的優越性,促進了當時微積分理論在歐洲大陸上迅速發展。因此,魯賓孫把萊布尼茨視為非標準分析的真正先驅者。但是這個理論卻存在著顯著的內在矛盾──有時把無窮小看作非零而作除數,有時又把它看作是零而捨去。局限於當時的條件,這個矛盾一時還不能徹底解決,難免受到非難和攻擊。英國的主觀唯心主義哲學家B.貝克萊(1685~1753)主教在1734年著文攻擊無窮小為「消失了的量的幽靈」。直到19世紀,A.-L.柯西、B.波爾查諾和K.(T.W.)外爾斯特拉斯用極限理論為數學分析建立了邏輯上嚴謹的基礎,從而促進了數學分析的大發展。此後,無窮小和無窮大在分析學中就再也沒有地位,只剩下了諸如「某變數趨於無窮大」這一類的說法而已。極限理論雖然使得數學分析獲得了邏輯的嚴謹性,但是卻失去了無窮小方法的簡明性和直觀性。正因為無窮小方法便於縮短論證,「更合於發明家的藝術」,所以直到今天,許多物理學家、經濟學家和工程師仍習慣於運用無窮小方法。然而,數學家們卻認為在數學分析中作為數的無窮小是不存在的。直到20世紀60年代,魯賓孫運用數理邏輯嚴謹地論證了無窮小的存在性,圓滿地解決了萊布尼茨的「無窮小的矛盾」的問題,開創了非標準分析。接著W.盧森堡用超冪方法構造了非標準模型,以後又構造了多飽和模型。此後,非標準分析發展很快,現在已成功地應用到許多方面,如點集、拓撲學、測度論、函數空間、概率論、微分方程、代數數論、流體力學、量子力學、理論物理和數理經濟等。非標準分析為具有眾多的小額貿易的商業市場提供了一個很好的模型。還有,它對模擬一個在邊界為無窮大的容器中的壓力下進行氣體的熱力學過程是很有成效的。非標準分析對某些學科中出現的一些困難問題已經作出有益的貢獻。例如,用非標準分析方法首先解決了幾十年未解決的希爾伯特空間上的多項式緊運算元的不變子空間的存在問題;又如,中國數學家用非標準分析方法給出了解決廣義函數的乘法問題的一個富有成效的方法;再如,法國數學家對常微分方程的奇異攝動已做出了大量很有意義的成果。還須指出,除非標準分析外,使得無窮小與無窮大能在分析學中使用的還有種種嘗試。在這方面最有成效的有D.勞格維茨的無窮小數和中國學者提出的廣義數的研究。
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