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非歐幾里得幾何

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Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門大的數學分支,一般來講 ,它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學,狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的,至於通常意義的非歐幾何,就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。

1誕生

歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設,頭四條公設分別為:
第一. 由任意一點到任意一點可作直線。 第二. 一條有限直線可以繼續延長。 第三. 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。 第四. 凡直角都相等。
第五條公設說:同一平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在某一側的兩個內角的和小於兩直角,則這兩直線經無限延長后在這一側相交。
長期以來,數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來,顯得文字敘述冗長,而且也不那麼顯而易見。有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到,而且以後再也沒有使用。也就是說,在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此,一些數學家提出,第五公設能不能不作為公設,而作為定理?能不能依靠前四個公設來證明第五公設?這就是幾何發展史上最著名的,爭論了長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。
由於證明第五公設的問題始終得不到解決,人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對?第五公設到底能不能證明?
到了十九世紀二十年代,俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中,他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設,然
羅巴切夫斯基

  羅巴切夫斯基

后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統,展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾,就等於證明了第五公設。我們知道,這其實就是數學中的反證法。
但是,在他極為細緻深入的推理過程中,得出了一個又一個在直覺上匪夷所思,但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後,羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論:
第一,第五公設不能被證明。
第二,在新的公理體系中展開的一連串推理,得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理,並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何,簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。
從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中,可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論:邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。

2羅氏幾何

羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用「在平面內,從直線外一點,至少可以做兩條直線和這條直線平行」來代替,其他公理基本相同。由於平行公理不同,經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。
我們知道,羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此,凡是不涉及到平行公理的幾何命題,在歐式幾何中如果是正確的,在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中,凡涉及到平行公理的命題,在羅氏幾何中都不成立,他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明:
歐式幾何:
同一直線的垂線和斜線相交。
垂直於同一直線的兩條直線互相平行。
存在相似的多邊形。
過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。
羅氏幾何:
同一直線的垂線和斜線不一定相交。
垂直於同一直線的兩條直線,當兩端延長的時候,離散到無窮。
不存在相似的多邊形。
過不在同一直線上的三點,不一定能做一個圓。
從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到,這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是,數學家們經過研究,提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀「模型」來解釋羅氏幾何是正確的。
1868年,義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面(例如擬球曲面)上實現。這就是說,非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾里得幾何命題,如果歐幾里得幾何沒有矛盾,非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時,長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究,羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致讚美,他本人則被人們讚譽為「幾何學中的哥白尼」。

3黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一樣。歐式幾何講「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」。羅氏幾何
黎曼

  黎曼

講「 過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行」。那麼是否存在這樣的幾何「過直線外一點,不能做直線和已知直線平行」?黎曼幾何就回答了這個問題。
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在,開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
黎曼幾何中的一條基本規定是:在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在,它的另一條公設講:直線可以無限延長,但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。
近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里,愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念,他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的,但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋,恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。
此外,黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎,也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。

4其他貢獻

幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時,匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事,勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年,在他的父親的一本著作里,以附錄的形式發表了研究結果。高斯也發現第五公設不能證明,並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害,不敢公開發表自己的研究成果,只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。

5公設不同

歐式幾何
同一直線的垂線和斜線相交。
垂直於同一直線的兩條直線互相平行。
存在相似的多邊形。
過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。
羅氏幾何
同一直線的垂線和斜線不一定相交。
垂直於同一直線的兩條直線,當兩端延長的時候,離散到無窮。
不存在相似的多邊形。
過不在同一直線上的三點,不一定能做一個圓。
從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到,這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。 1868年,義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面(例如擬球曲面)上實現。

6關係

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼(球面)幾何是三種各有區別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系。每個體系內的各條公理之間沒有矛盾。因此這三種幾何都是正確的。
宏觀低速的牛頓物理學中,也就是在我們的日常生活中,我們所處的空間可以近似看成歐式空間;在涉及到廣義相對論效應時,時空要用黎曼幾何刻畫。
非歐幾里得幾何

7分析

根據歐氏幾何的5條公理,可以看出,這裡所說的「歐氏幾何」實際上是平面幾何。除平面幾何外,還有立體幾何。我們通常所學的立體幾何,基本也就是空間中點、線、平面的關係,沒有涉及到曲面。
羅氏幾何:
根據羅氏幾何的定義:從直線外一點,至少可以做兩條直線和這條直線平行。我們僅需將空間中的平行線,定義為:不相交的兩條直線叫羅氏平行線。就可以得到,過直線外一點,可以做任意多條直線和這條直線羅氏平行。同一直線的垂線和斜線不一定相交(可能是羅氏平行線)。垂直於同一直線的兩條直線,當兩端延長的時候,可能離散到無窮(不在同一平面的兩條垂線,線距趨於無限遠)。過不在同一直線上的三點,不一定能做一個圓。這個命題在一個特殊模型下成立:「過一個曲面上的不在同一條直線上的三個點,不一定能在曲面上做一個「公認」的圓」。但可以在這個曲面上做過這三點的一個平面的投影圓。
黎曼幾何:
黎曼幾何的這個假設我們沒有模型:在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。直線可以無限延長,但總的長度是有限的。這個在球面上是可以應用的。
此外:
曲面上,兩點間最短的線稱為這兩點在該曲面上的直線,則曲面上兩點間的直線,可以有多條。如果一個曲面上的線,在一個平面上的投影為一條直線,則稱此直線為此曲面關於這個平面的直線,則過曲面上任意兩點,能且僅能做關於此平面的一條直線。曲面上三點,不在關於某平面的直線上,則能且僅能做一個關於此平面的圓。

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