1公式口訣

《三角函數》
三角函數是函數,象限符號坐標註。函數圖象單位圓,周期奇偶增減現。
同角關係很重要,化簡證明都需要。正六邊形頂點處,從上到下弦切割
中心記上數字1,連結頂點三角形;向下三角平方和,倒數關係是對角,
頂點任意一函數,等於後面兩根除。誘導公式就是好,負化正後大化小,
變成稅角好查表,化簡證明少不了。二的一半整數倍,奇數化余偶不變,
將其後者視銳角,符號原來函數判。兩角和的餘弦值,化為單角好求值,
餘弦積減正弦積,換角變形眾公式。和差化積須同名,互餘角度變名稱。
計算證明角先行,注意結構函數名,保持基本量不變,繁難向著簡易變。
逆反原則作指導,升冪降次和差積。條件等式的證明,方程思想指路明。
萬能公式不一般,化為有理式居先。公式順用和逆用,變形運用加巧用
1加餘弦想餘弦,1 減餘弦想正弦,冪升一次角減半,升冪降次它為范
三角函數反函數,實質就是求角度,先求三角函數值,再判角取值範圍
利用直角三角形,形象直觀好換名,簡單三角的方程,化為最簡求解集
《數列》
等差等比兩數列,通項公式N項和。兩個有限求極限,四則運算順序換。
數列問題多變幻,方程化歸整體算。數列求和比較難,錯位相消巧轉換,
取長補短高斯法,裂項求和公式算。歸納思想非常好,編個程序好思考:
一算二看三聯想,猜測證明不可少。還有數學歸納法,證明步驟程序化:
首先驗證再假定,從 K向著K加1,推論過程須詳盡,歸納原理來肯定。
《排列、組合、二項式定理》
加法乘法兩原理,貫穿始終的法則。與序無關是組合,要求有序是排列。
兩個公式兩性質,兩種思想和方法。歸納出排列組合,應用問題須轉化。
排列組合在一起,先選後排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考慮。
不重不漏多思考,捆綁插空是技巧。排列組合恆等式,定義證明建模試。
關於二項式定理,中國楊輝三角形。兩條性質兩公式,函數賦值變換式。
《平面解析幾何》
有向線段直線圓,橢圓雙曲拋物線,參數方程極坐標,數形結合稱典範。
笛卡爾的觀點對,點和有序實數對,兩者—一來對應,開創幾何新途徑。
兩種思想相輝映,化歸思想打前陣;都說待定係數法,實為方程組思想。
三種類型集大成,畫出曲線求方程,給了方程作曲線,曲線位置關係判。
四件工具是法寶,坐標思想參數好;平面幾何不能丟,旋轉變換複數求。
解析幾何是幾何,得意忘形學不活。圖形直觀數入微,數學本是數形學。

2必修1

1. 集合
(約4課時)
(1)集合的含義與表示

高中數學

高中數學
①通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的「屬於」關係。
②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用。
(2)集合間的基本關係
①理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集。
②在具體情境中,了解全集與空集的含義。
(3)集合的基本運算
①理解兩個集合的並集與交集的含義,會求兩個簡單集合的並集與交集。
②理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集。
③能使用Venn圖表達集合的關係及運算,體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。
2. 函數概念與基本初等函數
(約32課時)
(1)函數
①進一步體會函數是描述變數之間的依賴關係的重要數學模型,在此基礎上學慣用集合與對應的語言來刻畫函數,體會對應關係在刻畫函數概念中的作用;了解構成函數的要素,會求一些簡單函數的定義域和值域;了解映射的概念。
②在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數。
③了解簡單的分段函數,並能簡單應用。
④通過已學過的函數特別是二次函數,理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義;結合具體函數,了解奇偶性的含義。
⑤學會運用函數圖象理解和研究函數的性質(參見例1)。
(2)指數函數
①(細胞的分裂,考古中所用的C的衰減,藥物在人體內殘留量的變化等),了解指數函數模型的實際背景。
②理解有理指數冪的含義,通過具體實例了解實數指數冪的意義,掌握冪的運算。
③理解指數函數的概念和意義,能藉助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象,探索並理解指數函數的單調性與特殊點。
④在解決簡單實際問題的過程中,體會指數函數是一類重要的函數模型(參見例2)。
(3)對數函數
①理解對數的概念及其運算性質,知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數;通過閱讀材料,了解對數的產生歷史以及對簡化運算的作用。
②通過具體實例,直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關係,初步理解對數函數的概念,體會對數函數是一類重要的函數模型;能藉助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象,探索並了解對數函數的單調性與特殊點。
③知道指數函數 與對數函數 互為反函數(a>0,a≠1)。
(4)冪函數
通過實例,了解冪函數的概念;結合函數 的圖象,了解它們的變化情況。
(5)函數與方程
①結合二次函數的圖象,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數,從而了解函數的零點與方程根的聯繫。
②根據具體函數的圖象,能夠藉助計算器用二分法求相應方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。
(6)函數模型及其應用
①利用計算工具,比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異;結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。
②收集一些社會生活中普遍使用的函數模型(指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等)的實例,了解函數模型的廣泛應用。
(7)實習作業
根據某個主題,收集17世紀前後發生的一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物(開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉等)的有關資料或現實生活中的函數實例,採取小組合作的方式寫一篇有關函數概念的形成、發展或應用的文章,在班級中進行交流。具體要求參見數學文化的要求。

3必修2

平面解析幾何初步
(約18課時)
(1)直線與方程
①在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念,經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據確定直線位置的幾何要素,探索並掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函數的關係。
⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。
⑥探索並掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離。
(2)圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,探索並掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關係。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。
(3)在平面解析幾何初步的學習過程中,體會用代數方法處理幾何問題的思想。
(4)空間直角坐標系
①通過具體情境,感受建立空間直角坐標系的必要性,了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置。
②通過表示特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標,探索並得出空間兩點間的距離公式。

4必修3

統計
(約16課時)
(1)隨機抽樣
①能從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題。
②結合具體的實際問題情境,理解隨機抽樣的必要性和重要性。
③在參與解決統計問題的過程中,學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;通過對實例的分析,了解分層抽樣和系統抽樣方法。
④能通過試驗、查閱資料、設計調查問卷等方法收集數據。
(2)用樣本估計總體
①通過實例體會分佈的意義和作用,在表示樣本數據的過程中,學會列頻率分佈表、畫頻率分佈直方圖、頻率折線圖、莖葉圖(參見例1),體會它們各自的特點。
②通過實例理解樣本數據標準差的意義和作用,學會計算數據標準差。
③能根據實際問題的需求合理地選取樣本,從樣本數據中提取基本的數字特徵(如平均數、標準差),並作出合理的解釋。
④在解決統計問題的過程中,進一步體會用樣本估計總體的思想,會用樣本的頻率分佈估計總體分佈,會用樣本的基本數字特徵估計總體的基本數字特徵;初步體會樣本頻率分佈和數字特徵的隨機性。
⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想,解決一些簡單的實際問題;能通過對數據的分析為合理的決策提供一些依據,認識統計的作用,體會統計思維與確定性思維的差異。
⑥形成對數據處理過程進行初步評價的意識。
(3)變數的相關性
①通過收集現實問題中兩個有關聯變數的數據作出散點圖,並利用散點圖直觀認識變數間的相關關係。
②經歷用不同估算方法描述兩個變數線性相關的過程。知道最小二乘法的思想,能根據給出的線性回歸方程係數公式建立線性回歸方程(參見例2)。
三角函數
(約16課時)
(1)任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化。
(2)三角函數
①藉助單位圓理解任意角三角函數(正弦、餘弦、正切)的定義。
②藉助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式( 的正弦、餘弦、正切),能畫出 的圖象,了解三角函數的周期性。
③藉助圖象理解正弦函數、餘弦函數在 ,正切函數在 上的性質(如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等)。
④理解同角三角函數的基本關係式:
⑤結合具體實例,了解 的實際意義;能藉助計算器或計算機畫出 的圖象,觀察參數A,ω, 對函數圖象變化的影響。
⑥會用三角函數解決一些簡單實際問題,體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。
三角恆等變換
(約8課時)
(1)經歷用向量的數量積推導出兩角差的餘弦公式的過程,進一步體會向量方法的作用。
(2)能從兩角差的餘弦公式導出兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式,二倍角的正弦、餘弦、正切公式,了解它們的內在聯繫。
(3)能運用上述公式進行簡單的恆等變換(包括引導導出積化和差、和差化積、半形公式,但不要求記憶)。

5必修5

數列
(約12課時)
(1)數列的概念和簡單表示法
了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式),了解數列是一種特殊函數。
(2)等差數列、等比數列
①理解等差數列、等比數列的概念。
②探索並掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式。
③能在具體的問題情境中,發現數列的等差關係或等比關係,並能用有關知識解決相應的問題(參見例1)。
④體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關係。
常用邏輯用語
(約8課時)
(1)命題及其關係
①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題。
②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,會分析四種命題的相互關係。
(2)簡單的邏輯聯結詞
了解邏輯聯結詞「或」「且」「非」的含義。
(3)全稱量詞與存在量詞
①理解全稱量詞與存在量詞的意義。
②能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。
空間向量與立體幾何
(約12課時)
(1)空間向量及其運算
(2)空間向量的應用

6選2-2

1. 導數及其應用
(約24課時)
(1)導數概念及其幾何意義
①通過對大量實例的分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景,知道瞬時變化率就是導數,體會導數的思想及其內涵(參見選修1-1案例中的例2、例3)。
②通過函數圖象直觀地理解導數的幾何意義。
(2)導數的運算
①能根據導數定義求函數的導數。
②能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運演算法則求簡單函數的導數,能求簡單的複合函數(僅限於形如 )的導數。
③會使用導數公式表。
(3)導數在研究函數中的應用
①藉助幾何直觀探索並了解函數的單調性與導數的關係(參見選修1-1案例中的例4);能利用導數研究函數的單調性,會求不超過三次的多項式函數的單調區間。
②結合函數的圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數求不超過三次的多項式函數的極大值、極小值,以及閉區間上不超過三次的多項式函數最大值、最小值;體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性。
(4)生活中的優化問題舉例。
例如,通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題,體會導數在解決實際問題中的作用(參見選修1-1案例中的例5)。
(5)定積分與微積分基本定理
①通過求曲邊梯形的面積、變力做功等,從問題情境中了解定積分的實際背景;藉助幾何直觀體會定積分的基本思想,初步了解定積分的概念。
②通過變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關係,直觀了解微積分基本定理的含義(參見例1)。2. 推理與證明
(約8課時)
(1)合情推理與演繹推理
①了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡單的推理,體會並認識合情推理在數學發現中的作用(參見選修1-2案例中的例2、例3)。
②體會演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,並能運用它們進行一些簡單推理。
③通過具體實例,了解合情推理和演繹推理之間的聯繫和差異。
(2)直接證明與間接證明
①了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點。
②了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程、特點。
(3)數學歸納法
了解數學歸納法的原理,能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題。
(4)數學文化
①通過對實例的介紹(如歐幾里得《幾何原本》、馬克思《資本論》、傑弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律),體會公理化思想。
②介紹計算機在自動推理領域和數學證明中的作用。3. 數系的擴充與複數的引入
(約4課時)
(1)在問題情境中了解數系的擴充過程,體會實際需求與數學內部的矛盾(數的運算規則、方程理論)在數系擴充過程中的作用,感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯繫。
(2)理解複數的基本概念以及複數相等的充要條件。
(3)了解複數的代數表示法及其幾何意義。
(4)能進行複數代數形式的四則運算,了解複數代數形式的加、減運算的幾何意義。。

7選2-3

統計與概率
(約22課時)
(1)概率
①在對具體問題的分析中,理解取有限值的離散型隨機變數及其分佈列的概念,認識分佈列對於刻畫隨機現象的重要性。
②通過實例(如彩票抽獎),理解超幾何分佈及其導出過程,並能進行簡單的應用(參見例2)。
③在具體情境中,了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重複試驗的模型及二項分佈,並能解決一些簡單的實際問題(參見例3)。
④理解取有限值的離散型隨機變數均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變數的均值、方差,並能解決一些實際問題(參見例4)。
⑤藉助直觀(如實際問題的直方圖),認識正態分佈曲線的特點及曲線所表示的意義。
(2)統計案例
①通過對 「肺癌與吸煙有關嗎」的探究,了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及初步應用。
②通過對 「質量控制」「新葯是否有效」的探究,了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想、方法及初步應用(參見選修1-2案例中的例1)。
③通過對 「昆蟲分類」的探究,了解聚類分析的基本思想、方法及其初步應用。
④通過對 「人的體重與身高的關係」的探究,了解回歸的基本思想、方法及其初步應用。
參考案例
例1. 二項式定理的證明。
是n個 相乘,每個 在相乘時,有兩種選擇,選a或b,由分步計數原理可知展開式共有 項(包括同類項),其中每一項都是的形式,0,1,……,n;對於每一項 ,它是由k個 選了a, 個 選了b得到的,它出現的次數相當於從n個中取k個a的組合數,將它們合併同類項,就得二項展開式,這就是二項式定理。
例2.高三(1)班的聯歡會上設計了一項遊戲。在一個口袋中裝有10個紅球,20個白球,這些球除顏色外完全相同。遊戲者一次從中摸出5個球,摸到4個紅球的就中一等獎。求獲一等獎的概率。
從30個球中摸出5個球的組合數為: ;那麼,
如果令X表示摸出紅球的個數,則X服從N=30,M=5,n=10,m=4的超幾何分佈,那麼
例3. 將一枚均勻硬幣隨機擲100次,相當於重複做了100次試驗,每次有兩個可能的結果(出現正面,不出現正面),出現正面的概率為 。
如果令X為硬幣正面出現的次數,則X服從 的二項分佈,那麼
由此可以得到:「隨機擲100次硬幣正好出現50次正面」的概率為
在學習概率時會有一種誤解,認為既然出現正面的概率為 ,那麼擲100次硬幣出現50次正面是必然的,或者這個事件發生的概率應該很大。但計算表明這概率只有8%左右。
例4. 據氣象預報,某地區下個月有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01。設工地上有一台大型設備,為保護設備有以下三種方案。
方案1:運走設備,此時需花費3800元。
方案2:建一保護圍牆,需花費2000元。但圍牆無法防止大洪水,當大洪水來臨,設備受損,損失費為60000元。
方案3:不採取措施,希望不發生洪水。此時大洪水來臨損失60000元,小洪水來臨損失10000元。試比較哪一種方案好。

8選3-1

數學史選講
1. 早期算術與幾何——計數與測量
◆紙草書中記錄的數學(古代埃及)。
◆泥板書中記錄的數學(兩河流域)。
◆中國《周髀算經》、勾股定理(趙爽的圖)。
◆十進位值制的發展。
2.古希臘數學
◆畢達哥拉斯多邊形數,從勾股定理到勾股數,不可公度問題。
◆歐幾里得與《幾何原本》,演繹邏輯系統,第五公設問題,尺規作圖,公理化思想對近代科學的深遠影響。
◆阿基米德的工作:求積法。
3. 中國古代數學瑰寶
◆《九章算術》中的數學(方程術、加減消元法、正負數)。
◆大衍求一術(孫子定理)。
◆中國古代數學家介紹。
4. 平面解析幾何的產生——數與形的結合
◆函數與曲線。
◆笛卡兒方法論的意義。
5. 微積分的產生——劃時代的成就
6. 近代數學兩巨星——歐拉與高斯
◆歐拉的數學直覺。
◆高斯時代的特點(數學嚴密化)。
7. 千古謎題——伽羅瓦的解答
◆從阿貝爾到伽羅瓦(一個中數學家)。
◆幾何作圖三大難題。
◆近世代數的產生。
8. 康托的集合論——對無限的思考
◆無限集合與勢。
◆羅素悖論與數學基礎(哥德爾不完備定理)。
9. 隨機思想的發展
◆概率論溯源。
◆近代統計學的緣起。
10. 演算法思想的歷程
◆演算法的歷史背景。
◆計算機科學中的演算法。
11. 中國現代數學的發展
◆現代中國數學家奮發拼搏,趕超世界數學先進水平的光輝歷程。
說明與建議
1.本專題不必追求數學發展歷史的系統性和完整性,通過生動活潑的語言與喜聞樂見的事例呈現內容,使體會數學的重要思想和發展軌跡。本專題的內容安排可以採取多種形式,既可以由古到今,追尋數學發展的歷史;也可以從現實的、熟悉的數學問題出發,追根溯源,回眸數學發展中的重要事件和人物。例如,可以從「我們現在有多少種記數方法」出發,追溯歷史上的記數法(巴比倫的60進位、英國的12進位、計算機的二進位以及10進位,二進位與中國的八卦)。又如,可以從熟悉的π入手,漫談祖沖之的成果,用隨機數方法計算π,介紹古希臘和中國古代如何對待無理數、目前計算機可以算π到小數點后多少位等問題。
2. 以上所提供的內容僅僅是一種選擇,本專題內容的安排可以根據具體情況,作適當調整。內容應突出所蘊涵的思想性,突出數學發展的軌跡,突出數學家刻苦鑽研的科學精神。內容的選擇要符合的接受水平,呈現方式應圖文並茂、豐富多彩,引起的興趣。
3. 教學方式應靈活多樣,可採取講故事、討論交流、查閱資料、撰寫報告等方式進行。教師應鼓勵對數學發展的歷史軌跡。自己感興趣的歷史事件與人物,寫出自己的研究報告。

9選3-2

信息安全與密碼
1. 初等數論的有關知識
(1)了解整除和同餘,模m的完全同餘系和簡化剩餘系,歐拉定理和費馬小定理,大數分解問題。
(2)了解歐拉函數的定義和計算公式,威爾遜定理及在素數判別中的應用,原根與指數,模p的原根存在性,離散對數問題。
2. 數論在信息安全中的應用
(1)了解通訊安全中的有關概念(如明文、密文、密鑰)和通訊安全中的基本問題(如保密、數字簽名、密鑰管理、分配和共享)。
(2)了解古典密碼的一個例子:流密碼(利用模m同餘方式)。
(3)理解公鑰體制(單向函數概念),以及加密和數字簽名的方法(基於大數分解的RSA方案)。
(4)理解離散對數在密鑰交換和分配中的應用——棣弗-赫爾曼(Diffi-Hellman)方案。
(5)理解離散對數在加密和數字簽名中的應用——蓋莫爾(ElGamal)演算法。
(6)了解拉格朗日插值公式在密鑰共享中的應用。

10選3-3

球面上的幾何
1. 通過豐富的實際問題(如測量、航空、衛星定位),體會引進球面幾何知識的必要性。
2. 通過球面圖形與平面圖形的比較,感受球面幾何與歐氏平面幾何的異同。例如,球面上的大圓相當於平面上的直線,球面上兩點之間的最短距離是大圓弧的劣弧部分,球冪定理。
3.體會球面具有類似平面的對稱性質。
4. 了解球面上的一些基本圖形:大圓、小圓、球面角、球面二角形(月形)、極與赤道、球面三角形、球面三角形的極對稱三角形(簡稱球極三角形)。
5. 通過球面幾何與歐氏平面幾何比較,探索歐氏平面圖形的哪些性質能推廣到球面上,並說明理由,由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,s.a.s,a.s.a。
6. 理解單位球面三角形的面積公式( ),由此體會球面三角形內角和大於180°。
7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8. 利用球面三角形面積公式證明歐拉公式,體驗球面幾何與拓撲學的關係。
9. 利用向量的叉乘(向量積)探索並證明球面餘弦定理( )和球面上的勾股定理(即當 時的球面餘弦定理),能從球面的餘弦定理推導出球面的正弦定理 。
10. 體會當球面半徑無限增大時,球面接近於平面,球面的三角公式就變成相應的平面三角公式。
11. 初步了解另一種非歐幾何模型——龐加萊模型。

11選3-4

對稱與群
1. 通過豐富的對稱圖形,體驗日常生活和現實世界中存在著大量對稱現象與總的特點。
2. 了解剛體運動的基本性質和規律。
3. 通過分析圖形的不同對稱性和剛體運動,尋求刻畫不同圖形對稱性的思想,逐步形成圖形對稱變換的概念。
4.找出其所有對稱變換。
5.逐步形成對稱變換合成的概念,理解對稱變換合成的封閉性。
6.通過操作認識對稱變換滿足結合律。
7.通過操作,理解恆等變換的概念,逆變換的概念及其性質,針對具體的圖形能找出一個對稱變換的逆變換。
8.建立變換群的概念,並初步了解抽象群的概念。
9. 能藉助幾何直觀求出一些幾何圖形和具有一定對稱性的簡單化學分子模型的對稱群。
10.了解一種群的表示方法——乘法表示法。
11.了解一種由較為簡單群構造出較為複雜群的方法——直積。
12. 了解群論在現實生活中的重要應用,如晶體分類定理。
13. 考察其他形式的對稱變換,如代數式。通過二次、三次方程的求解過程,了解代數方程根的對稱群的含義,並了解伽羅瓦利用群論方法解決方程根式解問題的科學史實,感受群論在現代數學中的重大作用。

12選3-5

歐拉公式與閉曲面分類
1. 複習已學過的變換,並使用它們對平面圖形分類
(1)複習平移、旋轉、平面運動、反射、全等、位似、伸縮、相似變換,以及對平面圖形分類。
(2)在上述變換下,探索什麼幾何性質是不變的。
(3)體會變換的一些基本特徵:1-1對應,連續。
2. 歐拉公式
(1)通過探索發現歐拉公式的過程,理解歐拉公式。
(2)理解歐拉公式的拓撲證明。
(3)使用歐拉公式解決一些問題(如探索正多面體的個數)。
(4)探索非歐拉多面形的面數、棱數、頂點數的關係。
3. 理解曲面三角剖分的概念。
4. 會對一些曲面進行三角剖分,並能計算它們的歐拉示性數。
5. 了解拓撲變換的直觀含義。
6. 知道一些拓撲不變數,並能用它們對一些曲線、閉曲面進行分類,了解一些曲線、閉曲面的分類結果。
7. 了解拓撲思想的一些應用(如平面布線問題、一筆畫問題、布勞威爾不動點定理與經濟穩定點問題、四色問題)。

13選3-6

三等分角與數域擴充
1. 了解古希臘三大幾何作圖問題,通過三等分角問題了解它們的正確提法。在不限於圓規和直尺的前提下,了解三等分角的幾種不同作法。
2. 理解解決三等分角問題的基本思路——刻畫尺規作圖的範圍。
3. 給定線段a,b,會用尺規作圖方法作出長為 的線段。
4. 對於給定的任何已知線段,若把它作為單位長,則任一(正)有理數是可作圖的(即僅用圓規和直尺可作出該有理數長的線段)。
5. 通過有理數對加、減、乘、除運算的封閉性,了解有理數域和一般數域的概念。
6. 設F是一數域, 且 。證明:集合 也是一個數域,且F是集合 的子集合。了解擴域的概念。
7. 給出一些數域、擴域的具體實例。
8. 給定長為a的線段,會用尺規作圖方法作出長為 的線段。
9. 學會把三等分角問題代數化。
10. 證明:不能用尺規作圖的方法三等分60度角。
11. 用上述方法討論「倍方問題」或「用圓規和直尺不可能作出正七邊形」。
12. 體會解決古希臘三大作圖問題的思想方法和它在人們思想認識上的作用。
13. 了解複數乘法的棣莫弗公式,會用代數方法討論正十七邊形是可作圖的(即可用尺規作圖方法作出正十七邊形)。

14選4-1

幾何證明選講
1. 複習相似三角形的定義與性質,了解平行截割定理,證明直角三角形射影定理。
2. 證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理。
3. 證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。
4. 了解平行投影的含義,通過圓柱與平面的位置關係,體會平行投影;證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓)。
5. 通過觀察平面截圓錐面的情境,體會下面定理:
定理 在空間中,取直線 為軸,直線 與 相交於O點,其夾角為α, 圍繞 旋轉得到以O為頂點, 為母線的圓錐面,任取平面π,若它與軸 交角為β(π與 平行,記住β=0),則:
(1)β>α,平面π與圓錐的交線為橢圓
(2)β=α,平面π與圓錐的交線為拋物線
(3)β<α,平面π與圓錐的交線為雙曲線。
6. 利用Dandelin雙球(這兩個球位於圓錐的內部,一個位於平面π的上方,一個位於平面π的下方,並且與平面π及圓錐均相切)證明上述定理(1)情況。
7.試證明以下結果:①在6中,一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓,並與圓錐的底面平行,記這個圓所在平面為π';②如果平面π與平面π'的交線為m,在5(1)中橢圓上任取一點A,該Dandelin球與平面π的切點為F,則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小於1的常數e。(稱點F為這個橢圓的焦點,直線m為橢圓的準線,常數e為離心率。)
8. 探索定理中(3)的證明,體會當β無限接近α時平面π的極限結果。

15選4-2

矩陣與變換、內容與要求
1. 引入二階矩陣
2. 二階矩陣與平面向量(列向量)的乘法、平面圖形的變換
(1)以映射和變換的觀點認識矩陣與向量乘法的意義。
(2)證明矩陣變換把平面上的直線變成直線(或點),即證明
(3)通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形(如正方形)的變換,認識到矩陣可表示如下的線性變換:恆等、反射、伸壓、旋轉、切變、投影。
3. 變換的複合——二階方陣的乘法
(1)通過變換的實例,了解矩陣與矩陣的乘法的意義。
(2)通過具體的幾何圖形變換,說明矩陣乘法不滿足交換律。
(3)驗證二階方陣乘法滿足結合律。
(4)通過具體的幾何圖形變換,說明乘法不滿足消去律。
4.逆矩陣與二階行列式
(1)通過具體圖形變換,理解逆矩陣的意義;通過具體的投影變換,說明逆矩陣可能不存在。
(2)會證明逆矩陣的唯一性和 等簡單性質,並了解其在變換中的意義。
(3)了解二階行列式的定義,會用二階行列式求逆矩陣。
5. 二階矩陣與二元一次方程組
(1)能用變換與映射的觀點認識解線性方程組的意義。
(2)會用係數矩陣的逆矩陣解方程組。
(3)會通過具體的係數矩陣,從幾何上說明線性方程組解的存在性,唯一性。
6. 變換的不變數
(1)掌握矩陣特徵值與特徵向量的定義,能從幾何變換的角度說明特徵向量的意義。
(2)會求二階方陣的特徵值與特徵向量(只要求特徵值是兩個不同實數的情形)。
7. 矩陣的應用
(1)利用矩陣A的特徵值、特徵向量給出 簡單的表示,並能用它來解決問題。
(2)初步了解三階或高階矩陣。
(3)了解矩陣的應用。

16選4-3

數列與差分
1. 數列的差分
(1)通過一些具體實例,理解數列差分的概念。
(2)理解數列的一、二階差分以及它們對描述數列變化的意義,結合數列(作為函數)的圖象,了解差分與數列的增減、極值、數列圖象的凹凸的關係。
2. 一階線性差分方程
(1)通過一些具體實例,體會方程 是十分有用的數學模型。
(2)理解方程 中,當b=0(即方程為齊次方程)時,其解為等比數列;當k=1(即差分為常數)時,其解為等差數列。
(3)認識方程 的通解、特解,了解方程的解與相應的齊次方程 通解的關係;能給出方程 的通解公式。
3. (二元)一階線性差分方程組
(1)通過一些實例,認識一階線性差分方程組是描述現實世界的一個重要模型。
(2)了解一階線性差分方程組的通解、特解與其相應齊次方程組通解的關係。
(3)給定初值,會用迭代法求一階線性差分方程組的解;能寫出求解的演算法框圖。
(4)對給定的具體方程組,能初步討論當n→∞時,解(數列)的變化趨勢(收斂、發散、周期)。
4. 通過具體實例(如種群增長等),體會方程 是十分有用的數學模型。藉助計算工具,用迭代法分別對k取一些特殊值(如0<k≤1,1<k≤3,k=3.4,k=3.55,k=3.7)的情形,討論 的變化,初步了解非線性問題的複雜性。
5. 應用
(1)學會用差分方程和差分方程組解決一些簡單的實際問題。
(2)初步體會連續變數離散化的思想,能用它來討論一些簡單的問題。

17選4-4

坐標系與參數方程
1. 坐標系
(1)回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法,體會坐標系的作用。
(2)通過具體例子,了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。
(3)能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別,能進行極坐標和直角坐標的互化。
(4)能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程,體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義。
(5)藉助具體實例(如圓形體育場看台的座位、地球的經緯度等)了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法,並與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較,體會它們的區別。
2. 參數方程
(1)通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的關係,寫出拋物運動軌跡的參數方程,體會參數的意義。
(2)分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質,選擇適當的參數寫出它們的參數方程。
(3)舉例說明某些曲線用參數方程表示比用普通方程表示更方便,感受參數方程的優越性。
(4)藉助教具或計算機軟體,觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡(漸開線),了解平擺線和漸開線的生成過程,並能推導出它們的參數方程。
(5)通過閱讀材料,了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內擺線、環擺線)的生成過程;了解擺線在實際中應用的實例(例如,最速降線是平擺線,橢圓是特殊的內擺線——卡丹轉盤,圓擺線齒輪與漸開線齒輪,收割機、翻土機等機械裝置的擺線原理與設計,星形線與公共汽車門);了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用。

18選4-5

不等式選講
1. 回顧和複習不等式的基本性質和基本不等式。
2. 理解絕對值的幾何意義:
3. 認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
4. 用參數配方法討論柯西不等式的一般情況:
5. 用向量遞歸方法討論排序不等式。
6. 了解數學歸納法的原理及其使用範圍,會用數學歸納法證明一些簡單問題。
7. 會用數學歸納法證明貝努利不等式:
( ,n為大於1的正整數)。
了解當n為大於1的實數時貝努利不等式也成立。
8. 會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。
9. 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
坐標向量相乘:向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → A·B=XZ+YK

19選4-6

初等數論初步
1.認識帶余除法,理解同餘和剩餘類的概念及意義,探索剩餘類的運算性質(加法和乘法),並且理解它的實際意義。體會剩餘類運算與傳統的數的運算的異同(會出現零因子)。
2. 理解整除、因數和素數的概念,了解確定素數的方法(篩法),知道素數有無窮多。
3. 了解十進位表示的整數的整除判別法,探索整數能被3,9,11,7等整除的判別法。會檢查整數加法、乘法運算錯誤的一種方法。
4.探索利用輾轉相除法求兩個整數的最大公約數的方法,理解互素的概念,並能用輾轉相除法證明:若a能整除bc,且a,b互素,則a能整除c。探索公因數和公倍數的性質。了解算術基本定理。
5.理解一次不定方程的模型,利用輾轉相除法求解一次不定方程。並嘗試寫出演算法程序框圖,在條件允許的情況下,可上機實現。
6. 通過實例(如韓信點兵),理解一次同餘方程組模型。
7. 理解大衍求一術和孫子定理的證明。
8. 理解費馬小定理和歐拉定理及其證明。
費馬小定理:當m是素數,a、m互素時, 。
歐拉定理:當a、m互素時, ,其中 是 中與m互素的數的個數。
9. 了解數論在密碼中的應用——公開密鑰。

20選4-7

優選法與試驗設計初步
1.感受在現實生活中存在著大量的優選問題。
2.掌握分數法、0.618法及其適用範圍,可以利用計算機(或計算器)進行試驗,並能思考和嘗試運用這些方法解決一些實際問題,體會優選的思想方法。
3. 了解斐波那契數列{ },理解在試驗次數確定的情況下分數法最佳性的證明,通過連分數知道 和黃金分割的關係。
4.知道對分法、爬山法、分批試驗法,以及目標函數為多峰情況下的處理方法。
5.了解多因素優選問題,了解處理雙因素問題的一些優選方法,進一步體會優選的思想方法。
6.感受在現實生活中存在著大量的試驗設計問題。
7.理解運用正交試驗設計方法解決簡單問題的過程,了解正交試驗的思想和方法,並能運用這種方法思考和解決一些簡單的實際問題。

21選4-8

統籌法與圖論初步
1. 統籌方法
(1)通過實例了解統籌問題的思想及其應用的廣泛性。
(2)通過實例理解統籌法中的基本概念。
(3)通過實例掌握繪製統籌圖的方法。
(4)學會計算統籌圖中的參數:事項最早開始時間和最遲到達時間,工序的時差。
(5)學會尋找統籌圖的關鍵路,掌握尋找關鍵路的演算法,理解關鍵路的重要性。
(6)會用統籌方法分析和處理簡單的實際問題。
2. 圖論初步
(1)了解圖的基本概念和圖在刻畫實際問題中關係的作用。
(2)了解圖的生成樹,掌握求圖的生成樹和最小生成樹的演算法。
(3)了解圖的最短路問題,掌握求圖的最短路的演算法。
(4)了解一些圖論的其他問題,並知道演算法的複雜性。

22選4-9

風險與決策
1. 從日常生活及經濟活動中的實例分析,形成重視風險的意識、理解風險決策的必要性和重要性,理解風險決策的概念。
2.理解損益函數與損益矩陣,探索決策的途徑與方法,理解決策結論的意義。
3. 學會用決策樹表示需要決策問題的有關信息,能用反推決策樹的方法進行決策。
4.理解風險決策靈敏度分析的意義,會進行決策的靈敏度分析。
5.了解馬爾可夫型決策及其決策方法。

23選4-10

開關電路與布爾代數
1. 通過開關電路知道電路和電路的兩種狀態以及它們的數學表示。知道什麼是兩個電路的並聯和串聯,什麼是逆反電路,以及它們的狀態是怎樣確定的。
2. 通過對開關電路的分析,認識新電路的狀態是由原電路的狀態通過運算形成的。掌握狀態和狀態的運算兩個概念。
3. 通過狀態和狀態的運算,抽象出布爾代數、電路函數和電路多項式的概念。感悟從實際問題抽象、概括為數學問題的過程和用數學理論解決實際問題的思想方法。
4. 理解任意電路都可以用一個電路函數來表示,而電路函數又都可以用一個電路多項式實現。
5. 通過命題演算的學習,了解什麼是命題和命題的取值。認識什麼是兩個命題的「或命題」和「且命題」,什麼是一個命題的「非命題」(「否定命題」),這些新命題的取值是怎樣確定的。
6. 比較開關電路與命題演算的關係,並能嘗試用簡單的例子說明。比較布爾代數與有理數系中的運算,考慮它們之間的共同點、不同點和相似之處。

24課程大綱

第一部分 前言
一、課程性質
二、課程的基本理念
三、課程設計思路
第二部分 課程目標
第三部分 內容標準
一、必修課程  數學1  數學2  數學3  數學4  數學5
二、選修課程 系列1,系列2說明  系列1  系列2  系列3,系列4說明  系列3  系列4
三、數學探究、數學建模、數學文化數學探究  數學建模  數學文化
第四部分 實施建議
一、教學建議
二、評價建議
三、教材編寫建議

25意義

一、正確地理解概念
中國從20世紀50年代以來,中學數學教學大綱雖經歷多次修訂,但都有一個共同的指導思想,這就是搞好三基。並強調指出,正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。而當前中國數學教學中的突出問題,恰好是把掌握數學基礎,即數學概念的正確理解,給忽視了。一方面是教材低估了學生的理解能力,為了「減負」,淡化甚至迴避一些較難理解的基本概念;另一方面,「題海戰術」式的應試策略,使教師沒有充分的時間和精力去鑽研如何使學生深入理解基本的數學概念。說是為了減負,其實南轅北轍,老師、學生的壓力都增加了。
沒有「過程」的教學,因為缺乏數學思想方法為紐帶,概念間的關係無法認識,概念間的聯繫難以建立,導致學生的數學認知結構缺乏整體性。
二、對不同的概念,要採取不同的方法
有的只需在例題教學中實施概念教學。比如:相關關係的概念是描述性的,不必追求形式化上的嚴格。建議採用案例教學法。對比函數關係,重點突出相關關係的兩個本質特徵在:關聯性和不確定性。
有的先介紹概念產生的背景,然後通過與概念有明顯聯繫、直觀性強的例子,使學生在對具體問題的體驗中感知概念,提煉出本質屬性。
有的要聯繫其它概念,藉助多媒體等一些輔助設施進行直觀教學。
三、在新舊概念之間掌握概念
數學中有許多概念都有著密切的聯繫,如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數、對立事件與互斥事件等等,在教學中應善於尋找、分析其聯繫與區別,有利於學生掌握概念的本質。再如,函數概念有兩種定義,一種是初中給出的定義,是從運動變化的觀點出發,其中的對應關係是將自變數的每一個取值,與唯一確定的函數值對應起來:另一種是高中給出的定義,是從集合、對應的觀點出發,其中的對應關係是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。
從歷史上看,初中給出的定義來源於物理公式,而函數是描述變數之間的依賴關係的重要數學模型,函數可用圖像、表格、公式等表示,所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數,抓住了函數的本質屬性,更具有一般性。新東方優能中學專家認為分析兩種函數定義,其定義域與值域的含義完全相同,對應關係本質也一樣,只不過敘述的出發點不同,所以兩種函數的定義,本質是一致的。當然,對於函數概念真正的認識和理解是不容易的,要經歷一個多次接觸的較長的過程。

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