1定義

高斯整數是實數部分(實部)和虛數部分(虛部)都是整數的複數。也就是複平面中點集{a+bi|a,b 都是整數}。

2性質

所有高斯整數組成了一個整環,寫作Z。它是個不可以轉成有序環的歐幾里德整環,所以是唯一因子分解整環。 也就是在這個整環中,如同整數集一樣,可以存在唯一因子分解定理。

3高斯素數

1, −1, i及−i都是高斯整環裡面的單位元。除此之外,在高斯整環裡面不能因子分解的數稱為高斯素數。高斯素數分為兩類,其中一類是形式為4n+3(n是整數)的普通素數,如3,7等,它們在高斯整環裡面也不能夠因子分解。但是所有形式是4n+1的普通素數如5,13等,在高斯整環裡面都可以唯一因子分解成兩個共軛的高斯素數的乘積,如5=(2+i)(2-i),。需要注意的是,這裡我們也可以寫成5=(1+2i)(1-2i).這個是因為(2-i)i=1+2i,而i是單位元,所以我們可以認為這兩種分解是等價的。此外,素數2也可以分解,即2=(1+i)(1-i)。
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